會選擇恰當方法是一題多解反思后的更高境界
——一道高考參數取值范圍問題的解題策略比較

● (北京師范大學良鄉附屬中學 北京 102488)

含參函數在給定區間上單調，求參數取值范圍問題，策略比較多，筆者結合2009年山東省數學高考文科試題第21題，嘗試給出多種解法，探討方法選擇問題.

(1)當a,b滿足什么條件時,f(x)取得極值?

(2)已知a>0,且f(x)在區間(0,1]上單調遞增,試用a表示出b的取值范圍.

下面僅給出第(2)小題的求解方法.

解法1使用參數分離法、均值不等式以及導數知識求b的取值范圍.

由題意知f′(x)=ax2+2bx+1≥0在區間(0,1]上恒成立,即

因此

因此g(x)在(0,1]單調遞增，此時

得

解法2使用參數分離法以及導數知識求b的取值范圍.

由題意知f′(x)=ax2+2bx+1≥1在區間(0,1]上恒成立,即

令g′(x)=0,得

因此

解法3使用分類討論思想以及二次函數知識求b的取值范圍.

f′(x)>f′(0)=1>0，

滿足f′(x)≥0在(0,1]上恒成立.因而b≥0對于一切a∈R+都能滿足條件.

解關于b的不等式組

得

f′(x)min=f′(1)=a+2b+1≥0,

即

解關于b的不等式組

解法4使用分類討論思想、二次函數知識以及作出平面區域的策略求b的取值范圍.

f′(x)>f′(0)=1>0，

圖1

圖2

f′(x)min=f′(1)=a+2b+1≥0.

圖3

圖4

綜上所述：在同一個坐標系中將圖1～3拼接恰好形成一個完整的陰影圖形(如圖4所示)，這個陰影圖形是滿足f(x)在區間(0,1]上單調遞增的所有實數對(a,b)對應的點的集合.

下面結合該圖形試用a表示出b的取值范圍.

作射線PT∥b軸,則線段QP，射線PT，b軸圍成的陰影區域可以表示為：

解法5用子區間法求b的取值范圍.

由題意知f′(x)=ax2+2bx+1≥0在區間(0,1]上恒成立.

①當Δ≤0，即b2≤a時，不等式f′(a)=ax2+2bx+1≥0在R上恒成立，從而在(0，1]上恒成立，因此當a>0,b2≤a時,不等式恒成立,此時

②當Δ>0，即b2>a時，令f′(x)=ax2+2bx+1≥0，得

于是函數f(x)的單調增區間為

又函數f(x)在(0,1]上是增函數，從而

或

因此

又由a>0，得

從而

解得

(2)

或

(3)

不等式組(2)可化為

即

(4)

不等式組(3)可化為

即

小結上述5種不同的解法分別沿著5條不同的途徑得到了同一個結果.有些解法簡潔，有些解法看似簡單，但要經歷一個漫長的過程才能達到勝利的彼岸.現對5種解法進行比較:

方法1注意到f′(x)=ax2+2bx+1≥0在區間(0,1]上恒成立,這個區間(0,1]保障了x取正值,故不等式ax2+2bx+1≥0移項后得到2bx≥-ax2-1,不等式2邊同除以2x,不等式方向不改變,得到

方法1和方法2是高考參考答案提供的解法.

方法4類似于方法3,研究二次函數f′(x)=ax2+2bx+1(a>0).考慮到字母a,b同時出現在不等式或不等式組中,先同等對待字母a,b，把所得不等關系看成關于a,b的二元不等式組，用類似于線性規劃研究二元不等式的作平面區域圖的思想解決問題,比方法3更為直觀.

方法5先求出二次不等式f′(x)=ax2+2bx+1≥0的解集，再令(0,1]為該解集的子集，比較端點值得到關于b的不等式.看似思路簡單,但操作難度不小,選擇此法勢必要遭遇解無理不等式帶來的荊棘.

綜上所述,方法1和方法2體現了問題解決的簡潔性和可行性；方法2反映了學生思維的習慣性，但需要問題思考的縝密性；方法3體現了思維的靈活性和對問題理解的深刻性；方法4體現了數形結合的思想，從圖形上對所得答案進行了詮釋；方法5體現了問題解決的程序性，但需要有解決無理不等式的熟練技巧.