構造輔助數列解決一些有關自然數的問題

● (蘭州市第六十六中學 甘肅蘭州 730050)

在處理一些有關自然數的問題時,根據題目提供的信息,通過聯想,恰當地構造一個有助于解題的輔助數列,從而達到解題的目的,是一種很有用的解題方法.現舉例說明之.

1 證明等式

因為

所以

a1=a2=…=an-1=an=0,

故原等式得證．

令3-a=0,48-5a-3b=0,24-a-b-c=0,解得a=3,b=11,c=10,此時

故存在常數a=3,b=11,c=10,使得an=an-1=…=a1=0,即原命題成立.

2 證明不等式

an>an-1>…>a2>1，

故原不等式得證.

bn>bn-1>…>b1>0,cn>cn-1>…>c1>0,

故原不等式得證.

3 求數列的通項

對一些直接求解有困難的數列通項問題，若能適當變換，構造一個等差或等比數列，則原問題可以通過后者的“橋梁”作用順利解決.

即

由bn>0,得bn+1-bn=1,因此{bn}是以1為公差，以3為首項的等差數列，于是

bn=3+(n-1)·1=n+2,

故

例7已知數列{an}和{bn}滿足：a1=p,b1=q,且an=pan-1,bn=qan-1+rbn-1(n≥2),其中q≠0,p>r>0,試求數列{bn}的通項.

解顯然an=pn,得bn=qpn-1+rbn-1,即

兩邊同時加常數α,則有

故

4 研究數的整除性

對一些有困難的數的整除問題，若能適當變換，構造一個輔助數列，則原問題可以通過后者的“橋梁”作用順利得以解決.

an=28an-1-16an-2(n≥3).

由a1=22×7,a2=23×94,知當n=1,2時成立.

例9試證:11n+2+122n+1(n=0,1,2,…)能被133整除.

證明構造輔助數列{an}:an=11n+2+122n+1=121·11n+12·144n.由11，144是方程x2-125x+1 584=0,即xn=125xn-1-1 584xn-2的根，可將x=11,x=144代入并將所得式子相加得

an=125an-1-1 584an-2(n≥2).

又由a0=133,a1=3 059=133×23均能被133整除,遞推可知，an=11n+2+122n+1能被133整除.

5 解應用題

在處理一些與自然數有關的應用題時，可以先構造一個輔助數列，然后尋找并建立遞推關系，再根據遞推關系，確定相應的若干個初始值，最后通過對該數列性質的研究而使原問題得到解決.

(第3屆美國數學邀請賽試題)

解設ak為小蟲從點A出發后第k步(每步1米)能回到點A的走法總數，則有a1=0，小蟲從點A出發，每走一步都有3種走法，于是走k-1(k≥2)步就有3k-1種走法.這些走法可分為2類：

(1)第k-1已到達點A，這類走法有ak-1種；

(2)第k-1步不在點A，這時再爬行一步(第k步)只能以唯一方式到達點A，因此這類方法有ak種，故

ak+ak-1=3k-1,

即

ak=-ak-1+3k-1.

兩邊同時加上α·3k得

ak+α·3k=-[ak-1-(3α+1)3k-1].

故小蟲第k步回到點A的概率是

從以上諸例可以看出，構造輔助數列解題，其思維具有獨創性，方法具有獨特性，而且簡捷巧妙，能收到事半功倍之效，這對于提高學生的解題技能、培養和發展學生的創造性思維具有重要作用.