一道應(yīng)用題的變式教學(xué)及反思

● (通州高級中學(xué) 江蘇通州 226300)

教與學(xué)如同教學(xué)質(zhì)量的2只翅膀，只有師與生雙翅有力，教與學(xué)兩翼互動，才能使教學(xué)質(zhì)量飛揚(yáng).在解題教學(xué)中必須教與學(xué)并重，教與學(xué)有機(jī)結(jié)合.反思教學(xué)，既要強(qiáng)化教師教的反思，又要關(guān)注學(xué)生學(xué)的反思.這樣既能磨礪教師的教學(xué)本領(lǐng)，又能錘煉學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.下面就一道試題的變式教學(xué)談?wù)劷膛c學(xué)的雙重反思,希望能帶給讀者一點(diǎn)啟示.

圖1

1 呈現(xiàn)典例

例1走廊的示意圖如圖1所示，其2邊走廊的寬度均為2 m．

(2)一根長度為5 m的鐵棒能否水平(鐵棒與地面平行)通過該直角走廊?請說明理由(鐵棒的粗細(xì)忽略不計).

分析這是江蘇省南京市2009年高三期末調(diào)研測試題中的一道考題，是一道三角函數(shù)模型的應(yīng)用題.第(1)小題需過建模關(guān)，第(2)小題需過閱讀分析關(guān)和運(yùn)算關(guān).

解(1)由題意得

(2)方法1通分得

于是

因此

故鐵棒能水平通過該直角走廊.

方法2求導(dǎo)得

方法3平方得

故鐵棒能水平通過該直角走廊.

0

于是

故鐵棒能水平通過該直角走廊.

于是

從而

故鐵棒能水平通過該直角走廊.

反思(1)解題關(guān)鍵點(diǎn).

本題的建模過程應(yīng)該不是很難，而運(yùn)算應(yīng)充分抓住原等式的結(jié)構(gòu)特征,認(rèn)真分析其結(jié)構(gòu)的變化形式,靈活應(yīng)變,多方位思考,然后使用不同的求解策略加以應(yīng)對.通過這樣的反思，讓學(xué)生學(xué)會如何選擇思維的起點(diǎn)，開拓思路，積累破題的經(jīng)驗(yàn)和規(guī)律，培養(yǎng)思維的廣闊性.

(2)解題技巧(運(yùn)算技巧).

策略1利用三角關(guān)系式(sinθ+cosθ)2=1+2sinθ·cosθ，通過換元法來實(shí)施轉(zhuǎn)化，最終化為函數(shù)問題處理.

策略2直接利用導(dǎo)函數(shù)法求解.

策略3轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)問題求解.

策略4直接利用基本不等式求解.

很多數(shù)學(xué)試題有多種解法，解題后要從多角度思考是否還有其他解法，通過尋找新的方法可以開拓思路，防止思維定勢，及時總結(jié)出各類解題技巧，養(yǎng)成“從優(yōu)、從快”的解題思維方式，從而使思維更具有創(chuàng)造性.

(3)解題易錯點(diǎn).

在本題的建模過程中應(yīng)注意實(shí)際問題的定義域，而第(2)小題中應(yīng)注意到l越小越好，因此求的是l的最小值，運(yùn)算中應(yīng)注意θ的取值范圍和基本不等式中等號成立的條件.

2 變式引申

變式1直角走廊的示意圖(如圖2所示)，其2邊走廊的寬度均為1 m.現(xiàn)有一平板車，其平板面為矩形，它的長為2 m，寬為l m.

(1)若平板車卡在走廊內(nèi)，且∠CAB=θ，試求平板面的寬；

(2)若平板車能順利通過走廊，其寬度不能超過多少米？

解(1)轉(zhuǎn)化為例1，如圖3，可知

MN=MD+DN=ME+EF+FN,

于是

得

圖2

圖3

變式2如圖4,一走廊拐彎處外側(cè)是直角形，內(nèi)側(cè)是半徑為1 m的圓弧，走廊直道部分的寬均為1 m.現(xiàn)有一平板車，其平板面為矩形，它的長為2 m，寬為lm.

(1)若平板車卡在走廊內(nèi)，且∠CAB=θ，試求平板面的寬；

(2)若平板車能順利通過走廊，其寬度不能超過多少米？

圖4

圖5

解法1(1)設(shè)H為圓弧的圓心，E為平板面的一邊與圓弧的切點(diǎn)，連結(jié)HE，并延長交AB于點(diǎn)F，交AC延長線于點(diǎn)D.因?yàn)?/p>

所以

AD=GD-GA=GD-(2-AC)=

2tanθ-2+2cosθ.

又

HD=HE+EF+FD=1+l+AD·sinθ,

所以

即

(2)令sinθ+cosθ=t,則

從而

圖6

解法2(1)由圓弧聯(lián)想到圓，即可建立直角坐標(biāo)系，解決圓與直線的位置關(guān)系問題.如圖6,平板面的一邊與圓弧相切的直線為GH，則直線GH對應(yīng)的方程為y=x·tanθ+b，圓O：x2+y2=1，得H(2,2tanθ+b).因?yàn)?/p>

HC=BC+BH,

所以

聯(lián)立

得

從而

(2)同解法1.

反思(1)解題關(guān)鍵點(diǎn):能運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法去建立解決數(shù)學(xué)模型，應(yīng)該自己去領(lǐng)會、體驗(yàn)，只有這樣才能將所學(xué)知識轉(zhuǎn)化為解決問題的能力．

(2)解題技巧(建模技巧).

策略1從平面幾何的角度去建立和發(fā)現(xiàn)函數(shù)模型.

策略2從解析幾何的角度去建立和發(fā)現(xiàn)函數(shù)模型.

(3)解題易錯點(diǎn).

一道簡單的例題通過一系列的變式，合理控制和深化難度，可為訓(xùn)練思維、深化認(rèn)知、優(yōu)化認(rèn)知提供契機(jī)，這是培養(yǎng)解題能力、抽象概念能力的重要手段.通過變式教學(xué)，將知識串珠成線，從例題的典型性和規(guī)律性出發(fā)提高例題的“品味”，真正發(fā)揮經(jīng)典例題、習(xí)題的多種功能；通過變式教學(xué)，不僅能使學(xué)生的思維始終處于極度興奮的狀態(tài)，思維得到升華，而且這也是課堂上開展研究型學(xué)習(xí)切實(shí)、有效的途徑.通過解題后的反思不僅能對知識的形成發(fā)展過程、解題思維過程有一個更清楚的認(rèn)識，還有利于知識的深化、思維的縝密及高效課堂的形成.