機動目標攔截的變結構制導律設計與實現

馬克茂,馬 杰

(哈爾濱工業大學航天學院,哈爾濱 150080)

0 引 言

在導彈的末制導過程中,尤其是在制導的末端,影響制導精度的兩個主要因素是目標的逃逸機動和彈體動態響應過程[1]。目標機動的影響可以在制導律中加以補償,以提高制導精度,如增廣比例導引制導律[2],但在制導律的實現過程中存在目標機動信息的估計問題。彈體動態響應過程的時間常數決定了彈體對制導律給出的過載指令的響應快慢,大的彈體時間常數導致導彈過載跟蹤制導指令的滯后,在制導末端會嚴重影響制導性能[3]。針對彈體的動態特性,目前研究中主要從兩方面考慮來提高制導精度。一方面,可以采用直接側向力等快響應技術[4],來提高彈體的動態響應速度,但采用直接側向力在導彈控制回路中引入了離散特性及很大的氣動干擾效應,給自動駕駛儀和制導探測系統的設計帶來困難[5];另一方面,可以在制導律設計過程中直接考慮彈體的動態特性對制導回路的影響[6],并采用一定的制導律設計方法消除這種影響,從而提高制導精度。

本文針對機動目標的平面攔截問題,應用變結構控制方法與擴張觀測器技術研究了制導律設計與實現問題。針對上面討論的影響制導精度的兩個主要因素,在設計過程中,應用增廣比例導引的思想設計變結構制導律的切換函數,因而可有效地應對目標的機動;同時在彈體過載跟蹤回路的輸入端應用變結構控制,使制導系統的狀態變量在有限時間內到達滑動平面,因而消除了彈體時間常數對制導精度的影響。在設計切換函數時所采用的增廣比例導引需要利用目標的機動加速度信息,同吮,在所設計的變結構制導律中還需要用到目標機動加速度的變化率信息,而一般導引頭只能提供視線角度信息,雷達導引頭還可以提供有關的相對距離信息,但無法提供目標機動信息,導致制導律實現困難。本文假設彈目相對距離及其變化率信息、視線轉角可測量得到,采用高增益觀測器對制導律中所需要的視線轉率信息進行快速估計,并提出了對高增益觀測器進行二次擴張、利用擴張觀測器變量分別對目標的機動加速度及其變化率進行快速估計的方法,實現了所設計的變結構制導律。最后,對所設計的制導律及制導信息估計方法進行了仿真驗證,并對仿真結果進行了分析,說明了方法的有效性。

1 數學模型與問題描述

為便于推導以說明設計思想,本文考慮攔截平面內的彈目相對運動,如圖1所示,將導彈與目標均視為質點,分別用M和T表示,他們的連線LOS為視線,q為視線角,r為彈目相對距離,別為導彈和目標的速度矢量。

圖1 彈目相對運動關系Fig.1 Relative motion geometry of missile and target

圖1 中給出的彈目相對運動關系可描述為

其中amr、atr分別為導彈和目標在視線方向上的加速度分量,amq、atq分別為導彈和目標在垂直于視線方向上的加速度分量?？紤]到物理上受到的能量和響應速度的限制,導彈實際所能提供的最大過載是有限的,同樣目標的機動過載也是有限的,因此存在常數AM＞0,AT＞0使得

記末制導開始時刻為0,不失一般性,假設目標機動滿足如下條件。

假設1:存在常數A1＞0,A2＞0,使得

為便于設計,將彈體動態與自動駕駛儀所構成的過載跟蹤回路用簡化的一階慣性環節來近似描述,其動態方程為

其中TB為時間常數,amc為制導律環節提供給自動駕駛儀的過載指令,Δf(t)為不確定性,代表過載回路的建模誤差和所受到的外部干擾,假設其滿足如下條件:

假設2:不確定性 Δf(t)是有界的,即存在常數Bf≥0,使得|Δf(t)|≤Bf,?t≥0。

本文所研究的問題為:針對由式(1)-(4)所描述的制導控制系統,在不確定性存在的條件下設計制導律,同時假設彈目相對距離及其變化率、視線角、導彈橫向過載可測量得到,對所設計的制導律進行實現。

2 變結構制導律設計

在末制導過程中導彈沿視線方向的加速度分量一般是不可控的。當彈目接近速度小于零、視線轉率接近于零時,根據平行接近原理,導彈與目標在視線方向上的加速度分量對于導彈攔截目標沒有影響[7],因此在制導律設計時可以不考慮導彈與目標在視線方向的加速度分量,即將式(1)改寫為

為了應對目標的逃逸機動,按照增廣比例導引的思想,在比例導引中增加目標機動加速度的補償項,設計變結構制導律的切換函數為

其中常數N為導航比,滿足N＞2。先不考慮過載跟蹤回路中不確定性 Δf(t)的影響,令˙s=0,求解加速度指令,可得

這里的ace即為變結構控制中的等效控制。

基于上述等效控制,設計制導律如下

其中 γ＞Bf。ac為變結構制導律,由等效控制和切換控制組成。針對這一制導律有如下結論。

命題:制導律(7)、(8)可使制導系統(2)、(4)的狀態在有限時間內達到切換面{s=0}并保持在切換面上,進入滑動模態運動。

考慮假設2,可得

其中 λ=γ-Bf。由γ取值范圍可知λ＞0。因此由(9)式可知,當s(t)≠0時,在變結構制導律(7)、(8)作用下系統狀態向切換面趨近,而系統狀態如果在切換面上,則(9)式可保證系統狀態維持在切換面上,進行滑動模態運動。設s(0)≠0,對(9)式進行積分

令V(s(T))=0,則由上式可得

即制導系統的狀態將在有限時間內到達切換平面{s=0}上。由(9)式可得 s˙s≤-λ|s|,這一條件保證了當系統狀態到達切換平面后將保持在切換面上,即進入滑動模態運動。命題證畢。

在切換平面上,系統狀態滿足s=0,由(6)式可知,此時下述條件成立

將其代入(2)式,可得滑動模態方程如下:

即標準的目標無機動、彈體動態時間常數為零條件下的比例導引方程,由N ＞2、˙r＜0可得滑動模態的穩定性。由方程(12)、(13)可以看出,制導系統的狀態進入滑動模態運動后,滑動模態不受目標機動特性、過載跟蹤回路的動態特性等因素的影響,根據比例導引的最優性討論[1,7],可知變結構制導律可以有效地克服目標機動和過載跟蹤回路動態特性對制導精度的影響。

(4)式給出的是過載跟蹤回路的一個簡化模型,同實際系統相比,存在著不確定性。過載跟蹤回路中的不確定性及外部干擾是由變結構制導律(8)式中的增益γ進行抑制的。由(10)式可以看出這一增益還影響著系統狀態到達切換面的時間,增益越大,則系統狀態達到切換面的時間越短,但引起的振顫也會變大,因此在設計中需要對不確定性的抑制作用、系統狀態達到切換面的時間和振顫等因素進行綜合考慮。

3 制導律的實現

假設彈目相對距離信息、視線角、導彈橫向過載等可測量得到(由導彈的導引頭、加速度計等給出),在方程(2)、(4)、(5)中,將與相對距離有關的信息視為已知時變參數,令

則(2)式可描述為

其中

將時變項b(t)x2與系統的輸入寫在一起,則矩陣A為定常矩陣,系統(14)、(15)具有積分器的形式,建立高增益觀測器可以方便地對˙q進行快速估計。從變結構制導律(7)、(8)式可以看出,在制導律實現時還需要目標機動加速度及其變化率a tq、˙a tq的信息。針對這些制導信息,這里在高增益觀測器[8-9]的基礎上,對觀測器的變量進行二次擴展,分別用于對制導信息中atq和˙atq的快速估計。為此,針對系統(14)、(15),建立如下高增益觀測器

其中^x=[^x1^x2]T為觀測器狀態變量,用來估計視線轉率,^σ1、^σ2為擴展觀測器變量,用來估計目標機動加速度及其變化率。觀測器增益為

參數 αi均為實數(i=1,2,3,4),使得

為Hurwitz多項式,ε＞0為小的設計參數。

下面分析觀測器的收斂性。為此,定義觀測誤差向量為

其中

則可得觀測誤差的動態方程如下

其中

針對誤差系統(21),定義 W(η)=εηTPη,其中P＞0為如下Lyapunov方程的解

由于要求(19)式為Hurwitz的,因此針對任意給定的正定矩陣 Q,方程(22)存在唯一正定解 P。計算W(η)沿誤差系統(21)對時間的導數,可得

將(21)式代入,可得

將方程(22)代入,可得

其中 λmin(Q)為矩陣 Q的最小特征值。在末制導過程中導引頭存在最小作用距離r0,當r＜r0時,制導回路斷開,制導過程結束,因此在制導過程滿足彈目相對距離r≥r0,且制導過程會在有限時間內結束,設該時間為Tg。由上面討論可知,對于 ?t∈[0,Tg),b(t)、d(t)及其導數都是有界的,因此(21)式中的h(t)也是有界的。記

則由(23)式可得

顯然存在ε*＞0,使得對于任意ε∈(0,ε*),如下條件均成立:

令

則由(25)式可知,當‖η‖＞L(ε)時有˙W(η)＜0成立,因此可得觀測誤差的實用收斂性,觀測器最終的估計精度由(27)式給出。從(27)式可以看出估計精度隨著ε的減小而提高。從觀測誤差的動態方程(21)式可以看出,ε的減小同樣會提高觀測器的收斂速度。

根據(20)式關于跟蹤誤差的定義,當ε足夠小時忽略觀測誤差的影響,可以得到目標機動加速度及其變化率的估計式如下

第2節所設計的變結構制導律的實現包括由(16)-(18)式給出的擴展高增益觀測器、(28)式和如下各式

在高增益觀測器中,隨著ε的減小,觀測器的增益變大,在觀測誤差中會產生短時間的尖峰現象[8,10],而這種尖鋒現象會通過(29)-(31)式向制導回路傳遞,對制導回路的穩定性和性能產生影響。但是考慮到導彈過載的實際限制條件(由式(3)給出),在這個傳遞通道上實際上存在著飽和非線性環節,而飽和非線性環節正是抑制這種尖峰現象在系統中傳遞的常用手段,因此這里引入的高增益觀測器不會對制導系統的穩定性和性能產生影響。為避免過大的制導指令直接傳給過載跟蹤系統,在制導律實現時可以在(29)式給出的制導指令后串聯幅值為AM的飽和環節。

4 仿真驗證

考慮攔截平面內的末制導過程,假設導彈可提供的最大橫向加速度為aM=400 m/s2,導引頭中斷尋的制導的距離為r0=100 m。過載跟蹤回路中彈體動態的時間常數取為TB=0.3 s。高增益觀測器的設計參數設置如下

上述參數對應于(21)式中ˉA的特征值為

參數ε選擇為ε=0.01。變結構制導律中參數γ選擇為 γ=15。

仿真中觀測器狀態的初值均置為0,目標機動加速度取為

彈目相對運動的初值設置為

基于上述給定的參數對末制導過程進行了仿真,圖2-圖6分別給出了視線角、視線轉率、目標機動加速度及其變化率、制導律給出的指令加速度和導彈的實際加速度的仿真結果。經仿真計算得到的脫靶量為0.06 m。

圖2 視線角的估計Fig.2 Estimation of line-of-sight angle

從圖2-圖5給出的觀測器估計的仿真結果中可以看出,除了在開始階段存在短時間的尖峰現象外,所設計的觀測器對于視線角、視線轉率、目標機動加速度均具有很好的估計效果,而對目標機動加

圖3 視線轉率的估計Fig.3 Estimation of ling-of-sight rate

圖4 目標機動加速度的估計Fig.4 Estimation of target's maneuvering acceleration

圖5 目標機動加速度變化率的估計Fig.5 Estimation of the rate of target's maneuvering acceleration

速度的變化率的估計在制導末端誤差稍大,這一點從(20)式中給出的觀測誤差定義中也可以看出來,前三個變量的估計由于小參數ε的作用使得誤差很小,第四個變量的估計與觀測誤差是同數量級的,因此導致誤差稍大,但是對制導精度影響并不大,這點從最終的脫靶量仿真結果可以看出。

圖6 指令加速度與實際加速度Fig.6 Command acceleration and real acceleration

從圖6給出的仿真曲線可以看出,大約在末制導開始后4秒左右制導律給出的加速度指令開始頻繁地切換,表明系統狀態開始進入了滑動模態運動。仿真給出的指令加速度過載在制導開始階段存在短時間的飽和現象,體現了在指令過載通道中串聯的飽和環節對觀測器尖峰現象的抑制作用。另外,圖中還可以看出導彈實際橫向加速度滯后于指令加速度,這一滯后反映了(4)式描述的過載跟蹤回路的動態,從圖中可以看出這一滯后與仿真中所選取的彈體時間常數是一致的。

由于在r≤r0時制導系統給出的指令為0,導彈終止制導而進行慣性飛行,因此目標進行正弦機動的初始相位對脫靶量是有影響的。針對上述參數,改變目標機動的初始相位,選擇目標機動加速度為

仿真所得到的曲線與前面的仿真結果類似,得到的脫靶量為0.19 m,說明了目標機動的初始相位對脫靶量的影響。

5 結 論

針對影響制導性能的兩個主要因素,即目標機動和彈體的動態特性,對制導律的設計與實現問題進行了研究。采用變結構控制方法設計了制導律,在切換函數的設計中對目標機動加速度進行了補償,在切換控制中考慮了彈體動態特性的影響。應用高增益觀測器方法對制導信息進行快速估計,提出了對目標機動加速度的變化率進行估計的方法。對所提出的制導律設計和實現進行了仿真研究,仿真結果說明了方法的有效性。

為便于給出制導律及其實現的表達式以說明采用的設計思想,本文考慮了平面內彈目相對運動的制導問題。對比本文考慮的平面制導問題的數學模型和三維空間制導系統的數學模型[11],可以看出本文給出的制導律設計與實現方法可以直接推廣到三維空間攔截問題的制導律設計。

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