三維Anti de Sitter空間中Lo rentzian曲面的S1t×S1s-值光錐Gauss映射的奇點分類

于海鷗,高瑞梅,孔令令,裴東河

(1.東北師范大學人文學院,吉林長春 130117; 2.東北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,吉林長春 130024)

三維Anti de Sitter空間中Lo rentzian曲面的S1t×S1s-值光錐Gauss映射的奇點分類

于海鷗1,2,高瑞梅2,孔令令2,裴東河2

(1.東北師范大學人文學院,吉林長春 130117; 2.東北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,吉林長春 130024)

利用A rnol'd的Legendrian理論,對三維A nti de Sitter空間中Lo rentzian曲面進行了研究.引入光維高度函數(shù)概念研究了三維Anti de Sitter空間Lo rentzian曲面的S1t×S1s-值、光錐Gauss映射的奇點,進行了奇點分類,揭示了類光Causs-k ronecker曲率之間的關系;并研究了Lorentzian曲面的一些基本幾何性質(zhì).

Lo rentzian曲面;三維Anti de Sitter空間;S1t×S1s-值光錐Gauss映射;Lorentzian光維高度函數(shù)

文獻[1-3]研究了四維M inkow ski空間中的類空曲面的光錐Gauss映射和類光超曲面的奇點,并且建立了這些奇點和相應曲面在Lorentzian群作用下的幾何不變量之間的關系.Anti de Sitter空間是物理學中愛因斯坦廣義相對論的數(shù)學模型,同時可視為嵌入到指標為2的偽歐氏空間中的三類偽球模型之一,所以研究Anti de Sitter空間的子流形的奇點尤為重要.本文著重對指標為2的四維偽歐氏空間的三維A nti de Sitter空間中的Lo rentzian曲面進行了研究.我們首先采用類似于四維歐氏空間中曲面理論的方法[4],建立了三維Anti de Sitter空間中的Lorentzian曲面的局部微分幾何理論[5].但我們所研究的情況與歐氏和四維M inkow ski空間的情形有本質(zhì)的區(qū)別.例如,在三維Anti de Sitter空間中,我們總是可以沿著Lorentzian曲面選擇兩個類光法方向,利用這兩個方向,定義了一個Lorentzian不變量Kl(1,±1),并稱它為Lorentzian曲面的類光Gauss-Kronecker曲率.其次,引入了光錐高度函數(shù)的概念,并揭示S1t×S1s-值光錐Gauss映射的奇點,光錐高度函數(shù)的奇點,以及類光Gauss-Kronecker曲率之間的關系.另外還研究了Lorentzian曲面的一些基本的幾何性質(zhì).

本文中所涉及的映射與子流形均為C∞的.

1 三維Anti de Sitter空間中的Lorentzian曲面的局部微分幾何

2 光錐垂足曲面

3 與類光超平面的切觸

4 S1t×S1s-值光錐Gauss映射和光錐垂足曲面的奇點分類

假設(x0,y0)是一個類光拋物點,則S1t×S1s-值光錐Gauss映射只有折疊點和尖點.如果點(x0,y0)是一個折疊點,則存在(x0,y0)的一個鄰域,在此鄰域上S1t×S1s-值光錐Gauss映射是2到1,除非在類光拋物曲線上(即折疊曲線).如果點(x0,y0)是一個尖點,則臨界值是一個普通的尖點.由標準形式,可以知道S1t×S1s-值光錐Gauss映射在臨界值區(qū)域內(nèi)是3到1.另外點(x0,y0)在這個區(qū)域的邊界上.這意味著條件(4)中的(e)成立.我們注意到,在一個尖點的附近,存在2到1的點接近(x0,y0).然而,其中的一個點總是類光拋物點.由于其他類型的奇點在此種情況下不出現(xiàn),所以條件(3)中的(e)(條件(4)中的(e))刻畫了一個折疊(一個尖點).

若用光錐垂足曲面代替S1t×S1s-值光錐Gauss映射,則奇點只有尖棱或燕尾.對于燕尾(x0,y0),存在一個自相交曲線接近點(x0,y0).在這個曲線上,存在兩個不同的點(xi,yi)(i=1,2),使得L PσM(x1, y1)=L PσM(x2,y2).這說明M=X(U)在點(xi,yi)的切類光超平面是相同的.由于此種情況沒有其他類型的奇點,條件(4)中的(f)刻畫了L PσM的一個燕尾.證畢.

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Singularities of S1t×S1s-valued lightcone Gaussmap of Loren tzian surface in An ti de Sitter 3-space

YU Hai-ou1,2,GAO Rui-mei2,KONG Ling-ling2,PEIDong-he2

(1.Institute of Humanities,Northeast Normal University,Changchun 130117,China; 2.School of M athematics and Statistics,Northeast No rmal University,Changchun 130024,China)

Use A rnol'd Legendrian singularity theory,established in Anti de Sitter 3-space of partial differential geometry Lo rentzian surface theo ry,introducing the concep t of light cone highly function, study the singularities ofS1t×S1s-valued lightcone Gaussmap of a Lorentzian surface in Anti de Sitter 3-space,and reveals the Gauss light-Kronecker curvature of the relationship betw een them,in addition,the research of some basic p roperties of Lorentzian surface.

Lo rentzian surface;A nti de Sitter 3-space;S1t×S1s-valued lightcone Gauss map;Lo rentzian light cone highly function

O 192

110·51

A

1000-1832(2010)04-0035-11

2010-09-04

國家自然科學基金資助項目(10871035);教育部新世紀杰出人才資助項目(NCET05-0319);東北師范大學人文學院

青年教師科研基金資助項目(2010003).

于海鷗(1982—),女,碩士,講師;通訊作者:裴東河(1964—),男,博士,教授,主要從事奇點理論在微分幾何中的應用研究.

(責任編輯:陶 理)