小波分析在系統(tǒng)辨識中的應(yīng)用

許曉寧

（寧波第二高級技工學(xué)校，浙江 寧波 315000）

小波理論的出現(xiàn)吸引了許多領(lǐng)域的學(xué)者對之進(jìn)行深入研究。小波變換被認(rèn)為是Fourier 分析發(fā)展的新階段，具有許多其它時－頻域分析所不具備的優(yōu)良特性,如正交性、方向選擇性、可變的時頻域分辨率、可調(diào)整的局部支持以及分析數(shù)據(jù)量小等。這些良好的分析特性促使小波變換成為信號處理的一種強(qiáng)有力的新工具和手段。另外，小波變換的多尺度分解特性更加符合人類的視覺機(jī)制，與計(jì)算機(jī)視覺中由粗到細(xì)的認(rèn)識過程十分相似，更加適合圖像信息的處理。

1 小波在系統(tǒng)辨識中經(jīng)常要利用的特點(diǎn)

1.1 可構(gòu)成函數(shù)基

小波變換類似于Fourier 變換，可將信號按函數(shù)基的形式展開。經(jīng)典的Fourier 變換把平穩(wěn)信號表示為具有不同頻率的正、余弦函數(shù)的線性迭加，能較好地刻畫平穩(wěn)信號的頻率特性。

連續(xù)小波是尺度參數(shù)a 和平移參數(shù)b 均連續(xù)取值的小波函數(shù)。一般在實(shí)際應(yīng)用中，對a 和b進(jìn)行離散化處理，所得的離散小波可以構(gòu)成一個函數(shù)基。通過小波分解，可將信一號按小波基的形式展開。正交小波基可以沒有冗余地獲得信號的局部信息，意味著可以通過分解系數(shù)重構(gòu)原信號。它適用于數(shù)據(jù)壓縮、信噪分離、非線性系統(tǒng)辨識等領(lǐng)域。滿足框架性的非正交小波基由于提供了對函數(shù)的冗余表示，也能完全刻畫函數(shù)，并從函數(shù)的分解中重構(gòu)該函數(shù)。其優(yōu)點(diǎn)在于數(shù)值計(jì)算穩(wěn)定，計(jì)算誤差的影響小，對干擾的魯棒性好。非正交小波基常用在高維非線性函數(shù)逼近領(lǐng)域。

1.2 在時域和頻域內(nèi)具有局域化的能力

傳統(tǒng)的信號分析建立在Fourier 變換的基礎(chǔ)上，主要針對平穩(wěn)信號進(jìn)行處理，不能同時滿足信號在時、頻兩域上進(jìn)行局部分析的要求。而這種要求卻恰恰是處理非平穩(wěn)信號最根本和最關(guān)鍵的技術(shù)。為了分析和處理非平穩(wěn)信號，人們對Fourier 分析進(jìn)行了推廣乃至根本性的革命，提出并發(fā)展了一系列新的信號分析理論，小波分析理論即是Fourier 分析理論的一大突破。小波變換由于采用了自適應(yīng)窗口，可以在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率，因而在時頻兩域上可同時進(jìn)行局部分析，被譽(yù)為分析信號的顯微鏡。

1.3 可以進(jìn)行多尺度分析

信號在不同尺度下的小波變換反映了信號在不同尺度空間中的信息。通過變換尺度，可得到具有多尺度分析的信息表達(dá)，更深人地了解信號的特征。頻域內(nèi)的多尺度分析實(shí)質(zhì)上描述了小波的分頻性能。

L.A.Zadeh 定義的辨識：輸入輸出數(shù)據(jù)、模型類以及等價準(zhǔn)則:

①輸人/輸出數(shù)據(jù)。能夠量測到的被辨識系統(tǒng)的輸人/輸出量測數(shù)據(jù)。

②模型類。所考慮的系統(tǒng)的辨識結(jié)構(gòu)。

③等價原則。辨識的優(yōu)化和檢驗(yàn)?zāi)繕?biāo)。

由于實(shí)際中不可能尋找到一個與實(shí)際系統(tǒng)完全等價的模型，因此，從實(shí)際的觀點(diǎn)看，辨識就是從一組模型中選擇一個模型，按照某種原則，使之最佳地?cái)M合被辨識系統(tǒng)的動態(tài)或靜態(tài)特性。

從不同角度看，辨識模型可有幾種常見的分類，針對不同的辨一識模型，小波分析在系統(tǒng)辨識中有不同的應(yīng)用形式。

2 利用函數(shù)逼近的形式建立系統(tǒng)的非參數(shù)模型

從形式上看，小波重構(gòu)與函數(shù)估計(jì)非常相似，小波逼近論屬于小波分析領(lǐng)域中的一個重要分支。DavidL.Donoho 和I.Johnstone 提出用小波收縮的方法從帶有噪聲的采樣數(shù)據(jù)中估計(jì)一維未知的非線性函數(shù)，這標(biāo)志著小波分析用于非線性函數(shù)估計(jì)的開始。之后，他們又提出了對高維非線性函數(shù)的估計(jì)方法。B.Delyon,A.Juditskey 等人,指出了用符合框架性條件的小波基函數(shù)對非線性高維函數(shù)進(jìn)行估計(jì)是一致收斂的，在理論上證明了小波估計(jì)的準(zhǔn)確性，并且指出了小波估計(jì)的誤差界。由于小波分解公式與單層前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相似性，指出了小波網(wǎng)絡(luò)的一致收斂并給出了估計(jì)的誤差界，這就為小波網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。

相比于早期采用的Volterra 和Wiener 級數(shù)法進(jìn)行非線性系統(tǒng)辨識計(jì)算量大、實(shí)際應(yīng)用困難等問題，引出利用小波級數(shù)能更好、更快地逼近任意非線性函數(shù)。用小波級數(shù)作為并聯(lián)模型，實(shí)現(xiàn)了非線性系統(tǒng)的模型參考辨識。由于采用基于空間的正交小波基的多尺度分辨，辨識精度大大提高，且算法簡單，計(jì)算量小，收斂速度很快。

3 利用系統(tǒng)響應(yīng)的小波變換建立系統(tǒng)的時域模型

在古典控制理論中，典型的非參數(shù)模型辨識是指從一個實(shí)際系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)過程直接或間接得到系統(tǒng)響應(yīng)模型，包括階躍響應(yīng)、脈沖響應(yīng)、頻率特性等，提取出系統(tǒng)在時域或頻域中的特征。

這類應(yīng)用主要是利用小波變換能進(jìn)行多尺度分析的特點(diǎn)，及其小波分析在時域和頻域內(nèi)具有局域化的能力，可以對系統(tǒng)響應(yīng)進(jìn)行小波變換提取系統(tǒng)的主要特征并以此來設(shè)計(jì)控制器，可降低設(shè)計(jì)過程中對數(shù)學(xué)模型的依賴性。這為控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)提供了新的思路。利用高斯函數(shù)的一階函數(shù)作為基本小波函數(shù)，對幾種典型環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)進(jìn)行小波變換，并分析了響應(yīng)小波的過零點(diǎn)和極值點(diǎn)等重要參數(shù)與典型環(huán)節(jié)的各參數(shù)及其某些性能指標(biāo)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了一些規(guī)律，使得能用小波函數(shù)大致估計(jì)出系統(tǒng)的響應(yīng)特性，從而能進(jìn)一步建立更加復(fù)雜的模型與小波變換的關(guān)系。

以正交小波函數(shù)展開的形式表示單變量線性連續(xù)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，采用多尺度變換以得到一種類似于頻域方法的辨識算法，由于正交小波函數(shù)在時域和頻域上都是緊支的，即使在很大的信噪比情況下也可得到較高的辨識精度。文中給出了有噪聲和無噪聲兩種情況下與相關(guān)分析法的比較結(jié)果，充分說明了這一點(diǎn)。

4 小波網(wǎng)絡(luò)在系統(tǒng)辨識中的應(yīng)用

小波網(wǎng)絡(luò)是在小波分解的基礎(chǔ)上提出的一種前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，結(jié)構(gòu)類似于徑向基網(wǎng)絡(luò)，隱層節(jié)點(diǎn)的激發(fā)函數(shù)以小波函數(shù)基來替代，輸人層到隱層的權(quán)值和閥值分別對應(yīng)小波的仲縮和平移參數(shù)。它與其它前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一樣都具有任意逼近非線性函數(shù)的能力。小波分析在理論上保證了小波網(wǎng)絡(luò)在非線性函數(shù)逼近中所具有的快速性、準(zhǔn)確性和全局收斂性等優(yōu)點(diǎn)。由小波變換的特點(diǎn)決定小波網(wǎng)絡(luò)基函數(shù)具有可調(diào)的尺度參數(shù)，選用低尺度參數(shù)可以學(xué)習(xí)光滑函數(shù)，提高尺度可以較高精度學(xué)習(xí)局部奇異函數(shù)。網(wǎng)絡(luò)系數(shù)與小波分解有明確的聯(lián)系，這有助于從平移參數(shù)和尺度參數(shù)的物理意義上確定小波函數(shù)基的選擇，為初始化小波網(wǎng)絡(luò)系數(shù)提供了可能。

近十年來，小波網(wǎng)絡(luò)作為一種有突出特點(diǎn)的前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)受到較多的關(guān)注和重視。小波網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)確定和參數(shù)設(shè)置可借助小波分析理論進(jìn)行指導(dǎo)，其權(quán)值學(xué)習(xí)算法也較常規(guī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)簡單，并且誤差函數(shù)對于權(quán)值是線性的，其學(xué)習(xí)不存在局部極小點(diǎn)，收斂速度較快。在函數(shù)逼近方面具有最佳逼近和全局逼近的能力。由于小波函數(shù)具有快速衰減性，因此它屬于局部逼近網(wǎng)絡(luò)，與全局網(wǎng)絡(luò)相比具有收斂速度快、易適應(yīng)新數(shù)據(jù)、可以避免較大的外推誤差等優(yōu)點(diǎn)。又分析了小波網(wǎng)絡(luò)的非線性函數(shù)逼近能力。使用小波網(wǎng)絡(luò)也可以應(yīng)用于非線性函數(shù)學(xué)習(xí)、動態(tài)系統(tǒng)辨識等方面。

[1]張旭俊.用小波變換矩陣作小波分析[J].電力系統(tǒng)自動化，1999-12-30.

[2]孫崟培，王朝英.小波分析和小波包在圖像消噪中的應(yīng)用[J].通信技術(shù)，2009-01-10.