平面的法向量在解題中的應用

　　如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱向量垂直于平面α，記作⊥α。如果⊥α，那么叫做平面α的法向量。結合線面垂直的知識，不難知道平面的法向量有以下簡單性質:
　　性質1：平面的法向量不唯一，即一個平面的法向量有無數個，這些向量平行（或共線）。
　　性質2：平面的法向量與平面內的任意向量垂直。
　　性質3：平面的法向量與平面平行的線段表示的向量垂直。
　　利用平面的法向量，可以求二面角的大小、線面角（直線與平面所成角）的大小、以及點到平面的距離。
　　一、求二面角的大小
　　如圖1-1和圖1-2，向量、分別是平面α、β的法向量，α∩β=l。在二面角α-l-β內任取一點P，作PA⊥α于點A，PB⊥β于點B，作AC⊥l于C，連結BC，則有BC⊥l，于是∠ACB是二面角α-l-β的平面角。由平面幾何知識易知∠ACB與∠APB互補;要求∠ACB，只需求∠APB或其鄰補角即可。由平面的法向量的性質1、2，問題轉化為求向量、的大小及其它們的夾角。在具體解題中，依據性質2列方程組求出、，繼而求出cos<，>，后，根據題給條件判斷出所求二面角是鈍二面角還是銳二面角，然后表示出所求二面角的大小（特殊值對特殊角，不是特殊值，用反三角函數表示），判斷方法如下：不妨設cos<，>=m。
　　（Ⅰ）當m∈（0，1）時，（1）若二面角是鈍二面角，則其大小為πUhXY9wIIMVSQzItRklmi2iYLwSLw+yB7czFNbdfaPng=-arccosm；（2）若二面角是銳二面角，則其大小為arccosm。
　　（Ⅱ）當m∈（-1，0）時，（1）若二面角是鈍二面角，則其大小為arccosm或π-arccos|m|；（2）若二面角是銳角二面角，則其大小為arccos|m|。
　　例1：（2007全國Ⅱ卷、理19、交20）如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側棱SD⊥底面ABCD，E、F分別為AB、SC的中點。
　　（Ⅰ）證明EF∥平面SAD;
　　（Ⅱ）設SD=2DC，求二面角A-EF-D的大小。
　　本文只完成（Ⅱ）的解答，后面所舉例題同。
　　解：建立如圖2所示的坐標系o-xyz。設CD=a，則SD=2a，于是D（0，0，0），A（a，0，0），E（a，，0），F（0，，a）。令平面AEF的法向量=（x，y，z），平面DEF的法向量=（x，y，z），則有·=0·=0，·=0·=0
　　即（x，y，z）·（0，-，0）=0（x，y，z）·（-a，0，a）=0，（x，y，z）·（-a，-，0）=0（x，y，z）·（-a，0，a）=0
　　于是=（1，0，1）；=（1，-2，1）。
　　∴cos<，>==
　　由題知，二面角A-EF-D是銳二面角，于是其大小為arccos.
　　二、求線面角
　　設AP是平面α的一條斜線段，斜足為A，PB⊥α于B，平面α的法向量為，則：
　　（1）當與同向時，如圖3-1，cos<，>=cos<，>=，于是：
　　∠PAB=-arccos=arcsin.
　　（2）當與反向時，如圖3-2，-cos<，>=cos<，>=<0，于是：
　　∠PAB=-arccos=arcsin.
　　綜上述：∠PAB=-arccos=arcsin.
　　例2：（2005全國Ⅱ卷）如圖4，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分別為CD、PB的中點。
　　（I）求證：EF⊥平面PAB；
　　（II）設AB=BC，求AC與平面AEF所成角的大小。
　　解：建立如圖所示的坐標系o-xyz。設AD=PD=1，則F（，，），D（0，0，0），A（0，1，0），C（，0，0），E（，0，0），令平面AEF的法向量為=（x，y，z），
　　則有·=0·=0，即（x，y，z）（，-，）=0（x，y，z）（，-1，0）=0，
　　∴=（，1，-1）.
　　又=（，-1，0），
　　于是cos<，>==，
　　所以AC與平面AEF所成角的大小為arcsin.
　　三、求點到平面的距離
　　由圖3-1和圖3-2知，在△PAB中||=cos∠APB·||=||=cos∠APB·||=|cos<·>|·||=·||=.
　　例3：（2006湖北卷）如圖5，已知正三棱柱ABC-ABC的側棱長和底面邊長均為１，M是底面BC邊上的中點，N是側棱CC上的點，且CN=2CN。
　　（Ｉ）求二面角B-AM-N的余弦值；
　　（II）求點B到平面AMN的距離。
　　解：建立如圖所示的坐標系O-xyz，則M（0，0，0），A（-，0，0），N（0，，），B（0，-，1）.
　　令平面AMN的法向量為=（x，y，z），則有·=0·=0，即（x，y，z）（-，0，0）=0（x，y，z）（0，，）=0，
　　∴=（0，4，-3）.
　　又=（0，-，1），
　　于是，設點B到平面AMN的距離為d，則：
　　d===1.