幾何探求代數解

　　立體幾何中的探索性問題是高考中的常見題型。因其涉及的點、線具有可變性與不固定性，使此類題型具有一定的探索性和創造性。用傳統的立體幾何法去探求難度較大，而用空間向量法可“化找為求”，變探索為固定求解，使幾何問題代數化，大大降低了思維難度。
　　例1：如圖，正三棱柱各棱長都相等，問在棱AA上是否存在點E使二面角E-BC-A為60°。
　　解：取AC、AC中點分別為O和F，分別以OB、OC、OF所在直線為x、y、z軸建立坐標系如圖1，設正三棱柱的長為2，則C（0，1，0）、B（，0，0）、C（0，-1，0），假設存在點E滿足條件，可設E（0，-1，b）（0≤b≤2），
　　∴=（-，-1，b），=（-，1，0）
　　可取平面ABC的法向量為=（0，0，2），
　　設平面BCE的法向量為=（x，y，z），
　　由·=0·=0得-x-y+b·z=0-x+y=0
　　∴y=xz=x
　　令x=
　　∴y=1，z=
　　∴=（，1，）
　　∴|cos<，>|==cos60°
　　點評：立體幾何中點的探求常假設其存在，設一參數，再根據題中條件解決參數問題即可。用立體幾何法解決二面角問題須先找到此二面角的平面角，而向量法則可化為計算兩向量夾角問題。
　　例2：如圖2，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為∠DAB=60°的菱形。正三角形PAD所在平面垂直于底面ABCD。
　　（1）求證：AD⊥PB。
　　（2）取BC中點E，能否在棱PC上找一點F，使得平面DEF⊥平面ABCD。若能請證明，若不能請說明理由。
　　證明：（1）取AD中點O，則正三角形APD中，
　　PO⊥AD又面PAD⊥面ABCD?圯PO⊥面ABCD。
　　又菱形ABCD中，∠DAB=60°?圯正三角形ABD中OB⊥AD，分別以OB、OD、OP所在直線為x、y、z軸，建立如圖3所示的空間直角坐標系，不妨設AB=2，
　　則||=||=
　　∴A（0，-1，0），D（0，1，0），B（，0，0）
　　∴=（0，2，0），=（-，0，）
　　∴·=0
　　∴AD⊥PB
　　（2）在菱形ABCD中=2·
　　∴=（0，1，0）
　　∴E（，1，0），C（，2，0）
　　設=λ，0＜λ＜1
　　∴=（-，-2，）
　　則=+=（，1，0）+λ（-，-2，）=（-λ，1-2λ，λ）
　　又=（，0，0）
　　設=（a，b，c）是面DEF的法向量，
　　則·=0·=0
　　∴a=0（1）a（1-λ）+b（1-2λ）+cλ=0 （2）
　　顯然=（0，0，1）是面ABCD的法向量。
　　∴面DEF⊥面ABCD?圳·=0
　　∴c=0 （3）
　　由（1）（2）（3），得a=0，令b=1，則λ=.
　　即取PC中點F，可使得平面DEF⊥平面ABCD.
　　點評：立體幾何中線、面平行與垂直的證明，在向量中可轉化為向量之間的關系，從而用計算的方法達到目的。探索點的位置，可假設存在（設一參數），通過向量的運算解決此參數即可。