圓錐曲線的統一焦半徑公式

　　在2009、2010年全國Ⅰ、Ⅱ卷，以及其他省份的高考試卷中都出現了與圓錐曲線焦半徑有關的問題，我運用推導的焦半徑公式解題，效果非常好，希望能給各位讀者的教學與學習帶來方便。
　　定義：我們把圓錐曲線上的點A與焦點F的連線段|AF|叫做該圓錐曲線的焦半徑。
　　公式1：r=
　　說明：其中r、e分別是對應圓錐曲線焦半徑，p是焦點到相應準線的距離，在橢圓和雙曲線中p=，在拋物線中p就是焦點到準線的距離，θ是圓錐曲線焦半徑與焦點所在的對稱軸的夾角。θ∈（0，］。過圓錐曲線的焦點F作一條焦點弦|AB|，得到兩條焦半徑|AF|、|BF|，不妨設|AF|＞|BF|，則|AF|=，|BF|=。
　　推導：如圖1：設|AB|是過圓錐曲線的焦點F作一條弦|AB|，直線MN是焦點F所對應的準線，它交x軸于點P，記p=|FP|，即為焦準距；r=|AF|，即為焦半徑，過A分別作x軸和準線的垂線，垂足分別為M、H，根據圓錐曲線的第二定義，==e，又|AM|=|FP|+|FH|=p+rcosθ，所以有：=e，解得：r=。同理可得|BF|=。
　　根據上面的推導可得：|AB|=|FA|+|FB|=+=，所以有：
　　公式2：|AB|=，我們稱它為焦點弦長公式，特別當圓錐曲線是拋物線時，|AB|=，利用公式1很容易推導。
　　下面用2009和2010 年的幾道高考題說明公式1、公式2的妙用。
　　例1.（2010全國I）設F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF交C于點D，且=2，則C的離心率為?搖?搖?搖?搖。
　　解法1：設橢圓的方程為：+=1，D（x，y），又B（0，b）、F（c，0），則=（c，-b），=（x-c，y），由=2得：x=，y=，代入橢圓的方程+=1，解得e=.
　　解法2：如圖，|FD|=，|FB|=，由題意：cosθ==e，||=2||，所以有：=，即=，解得e=.
　　點評：兩種方法計算量看起來差不了多少，但事實上解法2優于解法1，下面再看一道題。
　　例2.（2009全國II）已知雙曲線C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，且斜率為的直線交C于A、B兩點，若=4，則C的離心率是（）。
　　（A） （B） （C）（D）
　　解法1：由題意AB的方程是：y=（x-c），代入-=1中消去y得：（b-3a）x+6acx-3ac-ab=0。
　　設A（x，y），B（x，y），
　　則x+x= （1）xx=（2）
　　又=4，由定比分點坐標公式得：c=，
　　即x+4x=5c（3）
　　聯立（1）、（2）、（3）得：e=，選（A）。
　　解法2：設雙曲線C：-=1的右準線為l，過A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直線AB的斜率為，知直線AB的傾斜角為60°，
　　∴∠BAD=60°，|AD|=|AB|.
　　由雙曲線的第二定義有 |AM|-|BN|=|AD|=（||-||）=|AB|=（||+||）.
　　又∵=4，
　　∴·3||=||，
　　∴e=，故選（A）。
　　解法3：由已知有：||=4||，
　　而|AF|=，|FB|=，即=4，解得：e=，故選（A）。
　　點評：本題用三種方法來解答，解法1最常規解法，但計算量太大，作為一道選擇題，花費十分鐘未必能算出來，效率太低。解法2利用了雙曲線的第二定義和平面幾何知識，雖簡單但有一定難度。顯而易見，再沒有比解法3更簡單的方法了。
　　讀者不妨利用例2的方法練習解答2010年全國II理科卷第12題和2010年遼寧理科卷的第7題。
　　練1.（2010全國Ⅱ）已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，過右焦點F且斜率k（k＞0）的直線與C相交于A、B亮點，若=3，則k=（）。
　?。ˋ）1（B） （C）（D）2
　　答案：（B）。
　　練2.（2010遼寧）設拋物線y=8x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足。如果直線AF的斜率為-，那么|PF|=（）。
　　（A）4 （B）8 （C）8 （D） 16
　　答案：（B）。
　　例3.（2010重慶）已知以F為焦點的拋物線y=4x上的兩點A、B滿足=3，則弦AB的中點到準線的距離為?搖?搖?搖?搖。
　　解：如圖，過A、B分別作已知拋物線準線的垂線，垂足分別為D、C，根據拋物線的定義可知：||=||，||=||，弦AB的中點到準線的距離即直角梯形ABCD的中位線長，記為d，則d=（|AD|+|BC|）=（|AF|+|BF|）=|AB|，由公式1：|AF| =，|FB|=，由已知：||=3||，解得：cosθ=，再由公式2得d===.
　　通過以上幾道2009、2010年的高考原題可以看出，公式1、2是參加高考的同學不得不掌握的一個考點，希望列舉的那幾個例題的演示能幫助同學們答疑解惑，在以后遇到類似題型達到事半功倍的效果。