初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的分類方法與分類思想

　　摘 要： 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中逐步恰當?shù)貪B透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，讓學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣既是符合新課程的標準，又是進行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個極好的切入點。它不但是一種重要的數(shù)學(xué)思想，而且是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法。分類思想不僅在數(shù)學(xué)知識的探究和概念學(xué)習(xí)中十分重要，而且在解決數(shù)學(xué)問題過程中起著不可替代的作用。本文作者談了初中數(shù)學(xué)教學(xué)中幾種重要的分類方法，并講述了在法則、定理、公式導(dǎo)出過程中，學(xué)生應(yīng)如何應(yīng)用分類討論的思想。讓學(xué)生學(xué)會用這種思想方法解決問題，是培養(yǎng)學(xué)生思考周密性、條理性的前提條件，對提高學(xué)生的思維能力和解決問題的能力有很大作用。
　　關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué)教學(xué) 分類方法 分類思想
　　
　　一、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中幾種重要的分類方法
　　所謂數(shù)學(xué)分類討論方法，就是將數(shù)學(xué)對象分成幾類，分別進行討論來解決問題。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性的分類討論思想，貫穿于整個初中數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容中。學(xué)習(xí)分類方法可以增強思維的縝密性。在教學(xué)中滲透分類思想時，應(yīng)讓學(xué)生了解到所謂的分類就是選取適當?shù)臉藴剩枰鶕?jù)對象屬性x，不重復(fù)、不遺漏地劃分為若干類，而后對每一子類的問題加以解答。掌握合理的分類方法是解決問題的關(guān)鍵所在。下面我就簡單談幾種分類方法。
　　（一）根據(jù)數(shù)學(xué)的相關(guān)法則性質(zhì)或特殊規(guī)定進行分類。
　　例如，學(xué)習(xí)一元二次方程，根的判別式時，對于變形后的方程用兩邊開平方求解，需要分類討論大于0、等于0、小于0這三種情況對應(yīng)方程的解。
　　分析：此題的符號決定能否開平方，是分類的依據(jù)，通過移項不等式可以化為（a－2）x>a－3的形式，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)可分為a-2>0、a-2=0和a-2<0三種情況分別解不等式。
　　（二）根據(jù)數(shù)學(xué)的概念分類。
　　有些數(shù)學(xué)概念是經(jīng)過分類得出的，解答此類題目，一般就可以按概念的分類形式進行分類。
　　例題：化簡：|a-4|—|a+6|
　　分析：這要按絕對值的意義進行分類求解。需要分三種情況：絕對值>0時，絕對值<0時和等于0時，分類討論，得出結(jié)果。
　　再如：當m為何值時，函數(shù)y=（m+3）x2m+l+4x-5（x≠0）是一次函數(shù)？
　　分析：這要根據(jù)一次函數(shù)的概念進行分類求解。
　　（三）根據(jù)圖形的特征或相互間關(guān)系進行分類。
　　1.三角形按角分類可以分為銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形。
　　2.二次函數(shù)二次項系數(shù)正負關(guān)系到拋物線開口方向。
　　3.直線和圓根據(jù)直線與圓的交點個數(shù)可分為：直線與圓相離，直線與圓相切，直線與圓相交，等等。
　　例題：等腰三角形一腰上的高與另一腰上的夾角為30°，底邊長為a，則腰上的高是多少？
　　分析：本題根據(jù)圖形的特征，把等腰三角形分為銳角三角形和鈍角三角形兩類作高，可得出兩種不同的答案：高=（四）根據(jù)幾何圖形中的點和線出現(xiàn)不同的位置進行分類。
　　例如在證明圓周角定理時，由于圓心的位置分為在角的邊上、角的內(nèi)部、角的外部三種不同的情況。因此分析時三種不同情況就要分別進行討論證明。可以先證明圓心在圓周角的一條邊上，這是最容易解決的，然后通過作過圓周角頂點的直徑利用先證明的（圓心在圓周角的一條邊上）的情況來分別解決圓心在圓周角的內(nèi)部和外部這兩種的情況。這是一種從定理的證明過程中反映出來的分類思想和方法。它是根據(jù)幾何圖形點和線出現(xiàn)不同位置的情況逐一解決的方法。初中數(shù)學(xué)教材中，在證明弦切角定理即弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角時，也要分圓心在弦切角的一條邊上、弦切角的內(nèi)部和弦切角的外部三種不同情況來解決。
　　例題：⊙O的半徑為OA=l，弦ABBAC的度數(shù)是多少？分析：根據(jù)兩弦的位置的不同進行分類，最后就可以求得∠BAC=75°或l5°。
　　再如交于A、B兩點。兩圓半徑分別是25和17，AB=30，則圓心距是多少？
　　分析：根據(jù)兩圓的位置進行分類就可以求得圓心距為28或12。
　　二、在法則、定理、公式導(dǎo)出過程中的分類思想
　　有些數(shù)學(xué)性質(zhì)、公式或定理在不同條件下是會有不同結(jié)論的，或者可以說結(jié)論只有在一定限制條件下才能成立。這就需要教師在教學(xué)的過程中逐步體現(xiàn)分類討論思想，分類討論在什么條件下成立，結(jié)論如何，等等。
　　比如：正比例函數(shù)的圖像，它的遞減或遞增性就要取決于k小于0還是大于0，這就需要分類來進行驗證。
　　再如：不等式的運算性質(zhì)要按不等式的兩邊同時乘以或同除以同一個正數(shù)或負數(shù)的不同來決定不等號方向是否改變。
　　又如：初中課本證明圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。為什么要根據(jù)圓心相對于圓周角的位置分成三種情況去證明？這就需要學(xué)生在自主畫圖測量、分析討論才能回答的，否則就失去了從一般到特殊、從特殊到一般的思維過程，當然也就無法體會到分類證明的目的和優(yōu)點。
　　學(xué)生在教師的引導(dǎo)下興趣盎然地進行探索活動，會逐步體會到恰當?shù)姆诸惪稍黾宇}設(shè)的條件，即可以把分類的依據(jù)做為附加條件，先證明特殊情況，再由特殊情況推廣到一般情況。這樣就拓寬了解決問題的思路，以化繁為簡。
　　其實分類討論的本質(zhì)就是由特殊到一般、由復(fù)雜到簡單，分而治之。只要學(xué)生掌握住這種思想，解起比較難解的題時也會思路清晰，得心應(yīng)手。如，學(xué)會了證明圓周角定理之后，在學(xué)習(xí)弦切角定理的證明時，學(xué)生們就可以自主運用再次認識“分類討論的思想”的探究過程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該重視法則、定理、公式的論證過程，注意歸納、揭示公式之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生增強分類意識，體驗分類思想方法的作用。
　　三、結(jié)語
　　總之，分類的思想方法是在數(shù)學(xué)知識的發(fā)生和應(yīng)用的過程中形成和發(fā)展的，它的靈活掌握需要有個潛移默化的過程，不能急于求成，是要在多次理解和反復(fù)應(yīng)用的基礎(chǔ)上逐步形成的。因此，教師要在在日常教學(xué)中要在根植于課本的基礎(chǔ)上，著眼于提高；要善于挖掘出各種教學(xué)資源中所蘊含的分類的思想方法，不失時機地引導(dǎo)學(xué)生建立分類的思想，揭示分類思想的本質(zhì)，進行滲透、概括、提煉與強化，使學(xué)生能夠自覺合理地運用分類的思想解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題。掌握分類的數(shù)學(xué)思想方法，可以提高學(xué)生的綜合運用的能力和良好的思維品質(zhì)，也有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的建立與發(fā)展。
　　
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