化難為易,妙求函數的值域

函數的值域是函數的三要素之一，是歷年來高考考查的一個重要內容.往往在高考中會出現一類比較難的有關求值域的問題，它考查了考生的綜合能力及化歸能力，下面同學們先來看一道例題:

函數f(x)=(0≤x≤2)的值域是( )

A. [-，]B. [-，]C. [-，]D. [-，]

分析與解:初看這道題，就會覺得有點棘手，原因有下面幾個:1. 這是一個帶有分式的函數;2.包括兩種函數:正弦函數與余弦函數;3. 分母帶有根號.其中，第3點是使我們感到最困難的，因為分母有根號的類型的題我們見得太少，不知道應該采用什么方法來處理.去根號的常用方法就是平方，現在問題是:對這個表達式，能二邊平方嗎?我們注意到這個函數在R上是奇函數，并且有一個周期是2，故函數值是有正有負的，可以平方.有了這樣的認識，我們可以做第一步工作了，就是去根號.這樣一來，我們得到:

y2=(0≤x≤2).

解決了最難的一個問題，下面再來解決第二個問題，這個表達式的分子是正弦函數，分母是余弦函數，能否化為一個函數的表達式呢?在這一點上，同學們很容易想到sin2x=1-cos2x，這樣一來，第二個問題也容易解決了，就得到:

y2=(0≤x≤2).

對于這個函數，同學們會比較熟悉了，因為這個式子里只有一個變量，就是cosx，要求這個表達式的最大值，我們可以采用二種方法，導數法和不等式法，不管用哪種方法，我們得先換元，因為這個式子還是有點復雜.所以有:

令5+4cosx=t(1≤t≤9)cosx=，故有:y2=(0≤x≤2)==-(t+).

當寫出這個式子的時候，同學們都會明白了，用基本不等式最好，這樣，問題基本上就解決了:y2≤-(2×3)=(當且僅當t=3時等號成立)-≤y≤，故選C.

反思:這是一道綜合性較強的高考試題，它考查了函數的性質、三角變換公式、換元法、基本不等式等內容.從這道試題的解答過程我們可以發現解題的一般規律:首先找出問題的難點;其次再分析難點中最困難的地方，設法先解決它;最后把所有的難點逐步解決.也就是說，其實難題就是一些容易的問題結合而成的，當你會把難題分解成一些容易的問題時，你就會成功了一半.顯然，掌握一些常用的方法是我們解題的基本條件.在高考中，考的就是一些常用的方法，只不過它不會很明顯讓你發現用什么方法，而是你去探索，去分析，然后把它化為我們常見的題型.

變式訓練1:(2010天津文數)(10)設函數g(x)=x2-2(x∈R)，f(x)=g(x)+x+4，x

A. -，0∪(1，+∞)B. [0，+∞)

C. [-，+∞)D. -，0∪(2，+∞)

解析:本題主要考查函數分類函數值域的基本求法，屬于難題.實際上，就是由二個已知定義域求二次函數的值域復合而成的.換句話說，只要求解出這二個簡單問題，就可以得到所求的答案了.

依題意可知:f(x)=x2+x+2，x<-1或x>2x2-x-2，-1≤x≤2由x2+x+2=(x+)2+>2及x2-x-2=(x-)2-∈[-，0]可知，答案選D.

變式訓練2:(2010江蘇卷)將邊長為1m正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S=，則S的最小值是

.

解析:設剪成的小正三角形的邊長為x，則S==#8226;(0

從上面一個例子和二個變式試題可以看出，當我們遇到比較困難的求值域或求最值的問題時，先考慮能否把這個問題分解，再考慮能否把問題進一步進行轉化，最后考慮如何用常用的方法來處理.按照這樣的思路，難題基本上就能迎刃而解了.

責任編校徐國堅