利用和諧統(tǒng)一美的觀點速解高考壓軸題

先看一個引例:

例1:(2010廣州市高三第二次全市理科模擬考試) 已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=b1，且對任意n∈N*都有an+bn=1，=.

(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;

(2)證明:+++…+

分析與解:(1)由條件易得an=，bn=1-an=.

現(xiàn)分析第(2)問.由(1)即證+++…+0，只需證明 f(x)=ln(1+x)-x在(0，+∞)上恒小于0即可，往下求導即可得證.

下面證明不等式②，同上述的分析，只需證明ln(1+n)-lnn>，即證ln(1+)>，同樣想到令=x，構(gòu)造函數(shù)，g(x)=ln(1+x)-，x>0往下用導數(shù)證明g(x)在(0，+∞)恒大于0即可.

解后的反思和啟示:此題困難的是第(2)問，在廣州二模的改卷反饋中，絕大多數(shù)同學對要求證的兩個不等式:ln(1+n)<1+++…+…①，+++…+

例2.(2010年高考湖北卷21題)已知函數(shù)f(x)=ax++c(a>0)的圖像在點(1，f(1))處的切線方程為y=x-1.

(Ⅰ)用a表示出b，c;

(Ⅱ)若f(x)>lnx在[1，+∞]上恒成立，求a的取值范圍;

(Ⅲ)證明:1+++…+>ln(n+1)+)(n≥1).

試題分析:本題主要考察函數(shù)、導數(shù)、不等式的證明等基礎知識，同時考察綜合運用數(shù)學知識進行推理論證的能力和分類討論的思想.

第(1)(2)問的簡解如下:(1)f ′(x)=a-，則有f(l)=a+b+c=0，f ′(l)=a-b=2，故b=a-1，c=l-2a.

(2)由(Ⅰ)知，f (x)=ax++1-2a，令g (x)=f (x)-lnx=ax++1-2a-lnx，x∈[1，+∞)，則g (l)=0，g ′(x)=a--==.

(i)當 o1.若1 lnx，故f (x)≥lnx在[1，+∞)上恒不成立.

(ii)a≥時， ≤l. 若f (x)>lnx，故當x≥1時，f (x)≥lnx，綜上所述，所求a的取值范圍為[，+∞).

本題最困難的是第(3)問.相比較廣州二模題，發(fā)現(xiàn)一個十分有趣的結(jié)論，即ln(1+n)不但小于1+++…+，加上后，還是比1+++…+要小. 但是解決的思路不變，即為了確保不等式左右兩邊項數(shù)的和諧統(tǒng)一，仍然采用裂項式an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1，把ln(n+1)裂成如下形式:ln(1+n)=[ln(1+n)-lnn]+[lnn-ln(n-1)+…+(ln2-ln1)+ln1，同時把也裂成如下形式:(-)+(-)+…+(+)+，然后轉(zhuǎn)化為逐項地比較大小，即轉(zhuǎn)化為證明(ln(1+n)-lnn)+(-)<，即證ln<+-，即證ln<-，這一步已經(jīng)出現(xiàn)一個令人欣喜的結(jié)構(gòu)()，令=x，問題轉(zhuǎn)化證lnx<(x-)，這是一個令人十分激動的結(jié)果，因為由第(2)問的證明可知，當a≥時，有f (x)≥lnx(x≥1)，于是當a=時，的確有f (x)=(x-)≥lnx(x≥1)，于是得證.

解后的反思和啟示:對比試題的原解法，即由第(2)問知:當a≥時，有f (x)≥lnx(x≥1)，令a=，有

f (x)=(x-)≥lnx(x≥1)， 當x>1時，(x-)>lnx.令x=，有l(wèi)n<[-]=[(1+)-(1-)]，即ln(k+1)-lnk<(+)，k=1，2，3，…，n. 將上述n個不等式一次相加得ln(n+1)<+(++…+)+，整理得1+++…+>ln(n+1)+，其中的“突然”令a=，得到(x-)>lnx，再“突然” 令x=，然后疊加來證明，簡直就像變戲法!用數(shù)學家波利亞的話來說，就像“帽子里突然冒出一只兔子”，同學們都肯定不容易搞懂.但從和諧統(tǒng)一美的觀點來看，這樣做的根本目的是使項數(shù)不同的不等式統(tǒng)一為項數(shù)相同的不等式，然后逐項地比較大小!實際上，和諧(統(tǒng)一)性本身就是數(shù)學結(jié)構(gòu)美的重要標志，是數(shù)學家不懈追求的目標，也是發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的美學方法之一.找差異，求統(tǒng)一，促轉(zhuǎn)化，為我們解題思緒的流淌而源源噴吐甘泉，在欣賞和感受到了數(shù)學和諧(統(tǒng)一)的美的同時，還可以指導我們快速地解決問題!

責任編校 徐國堅