\"向量回路法\"為求空間角注入新的活力

“傳統幾何法”(即“作、證、說、算”法)與“坐標向量法”(即“建立空間直角坐標系”法)是求空間角的兩大主題，是教學、應考與雜志、報刊的清一色主流方法.早已扎根于人的心底，讓人一看到這種“求空間角”的題型，解決此問題的固定思維就是“傳統幾何法”與“坐標向量法”的二選一.其實除此以外，還有一種就是雜志、報刊少渲染，教學、應考少涉及的“向量回路法”—此法不用建立空間直角坐標系，是教學、應考領域有待開發的一片綠洲. 解決“空間角”問題，有時用“向量回路法”比用“傳統幾何法”“坐標向量法”還要方便簡潔、明了.因為“坐標向量法”必須要建立空間直角坐標系(但有時候并不是那么好建立)，并要寫出相關點的坐標(但有時候并不是那么容易寫出)，而“傳統幾何法”則要通過平移一條或兩條直線找到所要求的平面角(找該角常常要考慮到后續的三角形邊長是否順利求解)，并要求出該角所在三角形的三條邊長(但有時候并不是那么好求).這些都成為用“傳統幾何法”與“坐標向量法”解決“空間角”問題的一個難點瓶頸.而“向量回路法”正好避開“找角算邊”、“建系定點”的難點.下面把“向量回路法”的原理、所適用的范圍以及解題的具體操作等作細致的說明.

一、“向量回路法”求空間角的原理及適用的范圍

1. 用“向量回路法”求“二面角”的原理及范圍.

如基本模型圖1，作EF⊥l，CF⊥l，則∠EFC就是二面角-l-的平面角.在內作HG∥EF，AB∥FC，則向量夾角<，>的大小就是該二面角的平面角的大小.連HB，得“閉合回路BHGAB”，則有“向量回路”:=++，兩邊平方得2=2+2+2+2#8226;+2#8226;+2#8226;=2+2+2+2#8226;=2+2+2+2cos<，>.而<，>正好就是平面角<，>的補角.“向量回路法”求二面角的平面角的本質就是只需知道“閉合回路BHGAB”中的四條邊長，可求余弦值cos<，>，繼而得平面角<，>的余弦值.溫馨提示:準確理解“基本模型圖1”的閉合回路中，哪些線互相垂直;準確理解“基本模型圖1”的閉合回路中，哪兩個向量的夾角等價于二面角的平面角的大小.用“向量回路法”求二面角的適用范圍:①當用“坐標向量法”的方案難以解決時，即有關的空間直角坐標系難以建立或相關點的坐標難以確定，而“閉合回路”中的四條邊長相對來說又較易求出，此時可考慮用“向量回路法”;②當用“傳統幾何法”處理時，二面角的平面角不易找到，或即使找到，但對相關點的空間位置不好把握及三角形的邊長不易求出，而“閉合回路”中的四條邊長相對來說又較易求出，此時可考慮用“向量回路法”.

2. 用“向量回路法”求“異面直線所成的角”的原理及范圍.

如基本模型圖2，設異面直線GH與AB，連結AG、BH得閉合回路BHGAB，則異面直線GH與AB所成的角等于夾角<，>或<，>，則由“向量回路”:=++，得2=2+2+2+2#8226;+2#8226;+2#8226;=2+2+2+2cos<，>+2cos<，>+2cos<，>，從上式可知，當知道“閉合回路BHGAB”中的四條邊長及兩條異面直線GH、AB與AG的夾角的余弦值，則可求兩條異面直線所成角的余弦值為cos<，>，這就是用“向量回路法”求“異面直線所成的角”的本質.用“向量回路法”求異面直線所成角的適用范圍:當用“傳統幾何法”找角難時，或者即使找到異面直線所成的平面角，但礙于該平面角所在的三角形的邊長不易求出——求解顯得繁瑣，而“閉合回路”中的四條邊長相對來說又較易求出，且直線GH、AB與AG的夾角的余弦值也易求，此時可考慮用“向量回路法”.

3. 用“向量回路法”求“直線與平面所成的角”的原理及范圍.

如基本模型圖3， AB是平面的一條斜線，作AC⊥于C點，則角∠ABC就是直線AB與平面所成的角，現在另作平面的一條垂線EF，垂足為E，則異面直線EF與 AB所成角的余弦值就是直線AB與平面所成角的正弦值，即sin∠ABC=cos<，>.另有“向量回路”:=++，得2=2+2+2+2#8226;+2#8226;+2#8226;=2+2+2+2cos<，>+2cos<，>+2cos<，>.由此式可知，當知道“閉合回路ABEFA”中的四條邊長及兩條異面直線AB、EF與BE的夾角的余弦值，則可求兩條異面直線EF與AB所成角的余弦值為cos<，>，即sin∠ABC=cos<，>.用“向量回路法”求直線與平面所成的角∠ABC的適用范圍:當垂線AC的垂足點C在平面上的位置難以確定，此時想通過 Rt△ABC來求線面角∠ABC一般來說是不現實的.此時若直線AB、EF與BE的夾角(或余弦值)及“回路ABEFA”的四條邊長都易求出，此時可考慮用“向量回路法”.

4. 一點感悟.

用“向量回路法”求“空間角”，本質上都是轉化為兩條異面直線，并通過求兩條異面直線的方向向量的夾角的余弦值來達到目標“空間角”的求解.而求兩條異面直線的方向向量的夾角的余弦值又必須將兩條異面直線置身于一個“閉合回路”(即空間四邊形)中.問題在于對于兩條異面直線AB和CD經不同的連結可得兩種不同的“閉合回路”:“閉合回路ACDBA”(圖1)與“閉合回路ADCBA”(圖2).

對于圖1有“向量回路”:=++，

對于圖2有“向量回路”:=++.

對于圖1必須知道“回路”中的四條邊長及AC(或)BD與AB、CD所成角的余弦值;對于圖2必須知道“回路”中的四條邊長及AD(或BC)與AB、CD所成角的余弦值.正因為“閉合回路”的眾多，所以在實際解題時，需要掂量掂量每一種“回路”，選出能夠解決“空間角”并且較易解決“空間角”的一個最佳“閉合回路”.

二、用“向量回路法”求空間角范例

例1. 如圖，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1，AD=CD，把△DAC沿對角線AC折起后如圖所示(點D記為點P)，點P在平面ABC上的正投影E落在線段AB上，連接PB.①求異面直線PA與BC所成的角，②求二面角P-AC-B的余弦值.

解析:①在 Rt△ABC中，因為BC=1，∠CAB=30°，所以AC=2，PA=PC=2.又因為PE⊥平面ABC，所以PE⊥BC，又AB⊥BC，所以BC⊥平面PAB，即BC⊥PB.在Rt△PBC中，得PB=.由異面直線PA與BC，選擇“閉合回路PACBP”，有向量回路:=++，所以2=2+2+2+2cos<，>+2cos<，>+2cos

<，>，即2=22+22+12+2×2×2cos120°+2×2cos<，>+2×2cos120°，得cos<，>=0，即PA與BC所成的角為90°.

②取AC中點G，連PG，則PG⊥AC;作BH⊥AC于H點，則夾角<，>的大小就是二面角P-AC-B的大小.在Rt△PBC中，得BH =，GH =.又PG=，PB=.由異面直線PG與BH，選擇“閉合回路PBHGP”，有向量回路:=++，即2=2+2+2+2#8226;，得cos<，>=-，即cos<，>=，設二面角的平面角為，則 cos=.

反思頓悟:對于第②小題，若要找出此二面角的平面角，則可在平面ABC內過點G作GF⊥AC交AB于F點，則∠PGF就是所求.但問題就出來了，點F在AB的什么位置?再深想下去越覺“計算可怕”與“情況不妙”;同理，若用“坐標向量法”求此二面角的大小，不管怎樣建立空間直角坐標系，都離不開點E位置的關注(因為點E是點P的正投影，點P的坐標與點E有關聯)，但點E位置的確定耗時耗力較多.綜合以上考量，第②小題用“向量回路法”是最佳的選擇;同理，用“向量回路法”求第①小題也是天時地利，順風順水.另一方面，在眾多“回路”的選擇方面，對第①小題，為什么不選“回路PABCP”來求解，原因在于用“回路PABCP”來求解，比不上用“回路PACBP”來求解優越.同樣對第②小題的求解，選擇“回路PBHGP”來求解是最佳的選擇.

例2. 如圖，三棱柱AOB-A1O1B1中，平面OBB1O1⊥平面AOB，∠O1OB=60°，∠AOB=90°，且OB=OO1=2，OA=，①求異面直線A1B與AO1所成角的大小;②(補充)求直線A1B與平面AOB所成角的正弦值.

解析:①因為平面OBB1O1⊥平面AOB，且OA⊥OB，平面OBB1O1∩平面AOB=OB，所以OA⊥平面OBB1O1，即AO⊥OO1，在Rt△AOO1中，AO1=;在Rt△AOB中，AB=.又因為=--，所以==.在△A1AB中，cos∠A1BA=;在△O1AB中，cos∠O1AB=.由異面直線A1B與AO1取“閉合回路A1O1ABA1”，有向量回路:=++，則2=2+2+2+2cos<，>+2cos<，>+2cos<，>，得cos<，>=，設異面直線A1B與AO1所成角大小為，則=arccos.

②在平面OBB1O1內作O1E⊥OB交于E點，則有O1E⊥平面AOB，所以求直線A1B與平面AOB所成角的正弦值，可轉化為求異面直線A1B與O1E所成角的余弦值來達到目的.選“回路A1O1EBA1”，得“向量回路法”:=++ ，即2=2+2+2+2cos<，>+2cos<，>+2cos<，>.又因為=，=1，=，=，cos<，>=，所以2=2+12+2+2××1×+2×××cos

<，>，解得cos<，>=-.因此直線A1B與平面AOB所成角的正弦值為.

反思頓悟:若從傳統幾何法來考慮，可以考慮平移一條或兩條直線來構造異面直線A1B與AO1所成的角.但不管采取哪一種構角方案，所構出來的那個“平面角”給人一種“天馬行空”的感覺，并且有關點的位置與邊長的確定相當費勁;若從構建空間直角坐標系的角度來考慮，容易選擇OA與OB作為坐標系的其中兩條軸，但第三條軸在哪?與幾何體中的線面有何關系?是需要明確的，否則寫不出點O1坐標.另外最難地方恐怕還是點A1坐標的確定.而“向量回路法”的難點只有一個，就是求A1B的長度，但比較上面兩種解法的“難點”，這個“難點”還是較易解決的.用“向量回路法”解第②問時，也可選擇“回路A1EO1BA1”，但計算過程不那么順暢;解第①問時，也可選擇“回路A1AO1BA1”來求解.至此，，求“空間角”的常用方法有三種:“傳統幾何法”和“坐標向量法”及“向量回路法”.傳統幾何法有“構角”與“求三角形邊長”兩大難點，“坐標向量法”也有“建系”與“相關點坐標確定”兩大難點.正如“傳統幾何法”和“坐標向量法”有它的優缺點外，“向量回路法”也同樣有它的優缺點，“向量回路法”的缺點是向量數量積書寫冗長繁瑣與“閉合回路”中的四條邊長及“兩邊與中間邊”所成角的余弦值都要確定，優點是避開“找角算邊”“建系定點”的難點.解決一個具體的“空間角”題目，要綜合考慮題目的條件，以及各種解法的優缺點，恰當合理地作出最佳的選擇.不管怎樣，“向量回路法”為解決“空間角”提供了新的途徑、新的契機與新的活力.

責任編校 徐國堅