值得玩味的三次函數問題

2010年的福建高考題的第20題(壓軸題)一改以往理科函數題以對數函數，或分式函數，或指數函數面貌出現的狀況，而是以最樸素的三次函數出現，考查了導數的運用，定積分知識，三次函數性質，源于教材又高于教材，返璞歸真，又蘊含新意，而恰恰是這樣的問題，難倒了許多考生.

題目:(2010年普通高等學校招生統一考試(福建卷)數學試題(理工農醫類)20題)

(Ⅰ)已知函數f(x)=x3-x ，其圖像記為曲線C.

(ⅰ)求函數f(x)的單調區間;

(ⅱ)證明:若對于任意非零實數x1，曲線C與其在點P1 (x1，f(x1)))處的切線交于另一點P2(x2，f(x2))，曲線C與其在點P2處的切線交于另一點P3(x3，f(x3))，線段P1 P2， P2 P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S1，S2，則為定值;

(Ⅱ)對于一般的三次函數g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，請給出類似于(Ⅰ)(ii)的正確命題，并予以證明.

1. 命題組給出的解答.

解析:(Ⅰ)由f ′(x)=3x2-1=(x+1)(x-1)，令f ′(x)>0，得到x>或x<-，令f ′(x)<0有-

(ⅱ)分析:本題要證明為定值，而P1是曲線上不在原點的任意點，隨著P1的變化，點P2和P3隨之變化，但不論怎么變化的值是不變的，也就是變化中蘊涵不變性(量)，這是問題的本質.由于三個點，變量太多，所以減少變量是求簡的思路:x1表示x2和x3，求出S1和S2，便可減少變量，這是我們求解前的思路和期望，事實也正是我們所愿.

解析:曲線C在點P1處的切線方程為:

y=(3x21-1)(x-x1)+x31-x1，

即y=(3x21-1)x-2x31.

由y=(3x21-1)x-2x21，y=x3-x，

得x3-x=(3x21-1)x-2x31，

即(x-x1)2(x+2x1)=0，

解得 x=x1或x=-2x1，故x2=-2x1.

S1=(x3-3x12x+2x31)dx=(x4-x21x2+2x21x)| =x41.

進而有，用x2代替x1，重復上述計算過程，可得x3= -2x2和S2=x42.

又x2=-2x1≠0，所以S2=x41≠0，因此有=.

(Ⅱ)記函數g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的圖像為曲線C′，類似于(Ⅰ)(ii)的正確命題為:若對于任意不等于-的實數x1，曲線C′與其在點P1(x1， g(x1))處的切線交于另一點P2(x2， g(x2))，曲線C′與其在點P2處的切線交于另一點P3(x3， g(x3))，線段P1P2、P2P3與曲線C′所圍成封閉圖形的面積分別記為S1，S2，則為定值.

證明如下:

證明1:因為平移變換不改變面積的大小，故可將曲線y=g(x)的對稱中心(-，g(-))平移至坐標原點，因而不妨設g(x)=ax3+hx，且x1≠0.類似(Ⅰ)(ⅱ)的計算可得:S1=ax41，S2=ax41≠0，故==.

證明2:由g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)得g′(x)=3ax2+2bx+c，所以曲線C′在點(x1，g(x1))處的切線方程為y=(3ax21+2bx1+c)x-2ax31-bx21+d.

由y=ax3+bx2+cx+d，y=(3ax21+2bx1+c)x-2ax31-bx21+d，得(x-x1)2[a(x+2x1)+b]=0，∴x=x1或x=--2x1，即x2=--2x1，故S1=[ax3+bx2-(3ax21+2bx1)x+2ax31+bx21]dx=.

用x2代替x1，重復上述計算過程，可得x3=--2x2和S2=.

又x2=--2x1且x1≠-，所以S2===≠0，故=.

說明:以上兩種方法是命題組給出的，幾乎沒有考生用方法1證明，原因是三次函數的對稱中心不熟悉.用方法2證明，運算量太大，很少有考生成功.

2. 不同于命題組的解法.

對于(Ⅰ)(ii)的解法關鍵是求出x1與x2的關系，可以用點差法.

設P1(x1，x31-x1)，P2(x2，x32-x2)，則直線P1P2的斜率為k===x22+x2x1+x21-1，另一方面過P1的切線斜率又等于3x21-1，因此x22+x2x1+x21-1=3x21-1x22+x2x1-2x21=0(x2+2x1)(x2-x1)=0x2=-2x1，x2=x1(舍去)，∴x2=-2x1.

同理，可得x3= -2x2.由S1=(x3-3x21x+2x31)dx，可設S1=mx41，同理S2=mx42，因此有==.

說明:通過S1具有的樣子，假設其可能的結果，避免了煩瑣的運算，是一種聰明的方法.

(Ⅱ)另證:

對于曲線y=ax3+bx2+cx+d，無論如何平移，其面積值是恒定的，所以這里僅考慮y=ax3+bx2+cx的情形，y′=3ax2+2bx+c，P1(x1，ax31+bx21+cx1)，f ′(x1)=3ax12+2bx1+c，因此過點P1的切線方程為:y=(3ax12+2bx1+c)x-2ax13-bx12，聯立y=(3ax12+2bx1+c)x-2ax13-bx12，y=ax3+bx2+cx，得到:ax3+bx2-(3ax12+2bx1)x+bx12+2ax13=0，從而(x-x1)2(ax+b+2ax1)=0，∴x=x1或x=--2x1，即x2=--2x1.以下同證明2.

說明:本法類似于上面的證明1，原函數經過上下平移，變成y=ax3+bx2+cx，簡化了運算.

3. 一個一箭雙雕的解法.

本題(Ⅱ)是(Ⅰ)(ii)的一般情況，(Ⅰ)(ii)是(Ⅱ)的特殊情況，所以解決了問題(Ⅱ)，(Ⅰ)(ii)便得到了解決.這是一般化方法的成功運用.讓我們來看看下面對(Ⅰ)(ii)和(Ⅱ)的漂亮解法:

不妨先證明(Ⅱ):記函數g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的圖像為曲線C′，若對于任意不等于-的實數x1，曲線C′與其在點P1(x1， g(x1))處的切線交于另一點P2(x2， g(x2))，曲線C′與其在點P2處的切線交于另一點P3(x3， g(x3))，線段P1P2、P2P3與曲線C′所圍成封閉圖形的面積分別記為S1，S2，則為定值.

證明:g′(x)=3ax2+2bx+c，依題意，k=3ax12+2bx1+c==a(x1x2+x21+x22)+b(x1+x2)+c…①，同樣由k=3ax22+2bx2+c==a(x2x3+x22+x23)+b(x2+x3)+c…②，由①可得a(x1-x2)(2x1+x2)+b(x1-x2)=0，由②可得a(x2-x3)(2x2+x3)+b(x2-x3)=0. ∵x1，x2，x3互不相等，∴ a(2x1+x2)+b=0且a(2x2+x3)+b=0，∴ 2(x1-x2)=-(x2-x3). ∴P1P2與曲線C′圍成面積為:

S1=-g(x)dx

=(x1-x2)(a#8226;+b#8226;)

=(x1-x2)3(a#8226;+)

=(x1-x2)3#8226;=(x1-x2)4.

同理S2=(x2-x3)3(a#8226;+)=(x1-x2)4，∴=為定值.由此可知(Ⅰ)(ii)的結果也是定值，而且=.

說明:如此一箭雙雕，令人叫絕.這是對特殊與一般的本質認識，顯然本解法技巧性強，變量之間的關系處理得非常靈活，不是誰都能完成的.當然通過的(Ⅱ)其他方法，也可以推出(Ⅰ)(ii).題目如此設計，是為了遵循人們認識事物的規律，更好地從特殊發現一般，但有些高人偏能一開始便抓住本質，可喜可賀也!

另外，面積S1的表達只要把上述(Ⅰ)(ii)中的圖像，向上平移，使點P1和P2都在 x軸上方，則S1為梯形面積與曲邊梯形面積之差，S2也如此.

4. 出現的錯誤分析.

(Ⅰ)(i)中出現了各種錯誤有:一是把f ′(x)=3x2-1=0解錯，得到x=±或x=±;二是把f ′(x)=3x2-1>0解錯，得到x>或x>，三是把原函數的單調遞增區間表述為(-∞，-)∪(，+∞)，等等.有些錯誤莫名其妙，有些可能是筆誤，更多的是基礎知識不牢的緣故.由此告訴我們，平時就應該養成良好的學習習慣，比如準確掌握知識的習慣，準確表述的習慣，及時驗算的習慣等.

(Ⅰ)(ii)中出現的錯誤主要是求不出x1與x2的關系，有的得到了x22+x2x1-2x12=0，仍無法解出方程，很是可惜.有的是在求面積S1的時候運算不準確，更多的是空白，沒有思路，不敢碰.

(Ⅱ)中首先是類比，很多同學照抄，忽略了要排除點(-，g(-))，結果把很關鍵的部分丟棄.當然認真類比可以發現(Ⅰ)(ii)中排除的x1，其實就是函數對稱中心的橫坐標.為什么這個點要排除呢?原因是過對稱中心的點的切線與原函數只有一個交點，比如我們熟悉的函數y=x3的對稱中心是(0，0)，而過(0，0)的切線方程是y=0，與原函數只有一個交點，這時不可能有面積S1與S2，所以要排除.當然發現了要排除對稱中心，還是不容易把g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0) 對稱中心求出來，因為教材中的三次函數并沒有涉及到這個問題.但運用現有的知識還是可以實現目標的.

其實，就是求不出g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的對稱中心，也可以把(Ⅱ)的類比寫成:記函數g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的圖像為曲線C′，類似于(Ⅰ)(ii)的正確命題為:對異于g(x)對稱中心的點P1，曲線C′與其在點P1(x1， g(x1))處的切線交于另一點P2(x2， g(x2))，曲線C′與其在點P2處的切線交于另一點P3(x3， g(x3))，線段P1P2、P2P3與曲線C′所圍成封閉圖形的面積分別記為S1，S2，則為定值.如此，也排除了不適合的點.

5. 三次函數對稱中心的探求.

探求求函數g(x)=ax3+bx2+cx+d的對稱中心，一是從特殊到一般，歸納得到;二是利用導數和極值;三是配方;四是平移.

特殊到一般:y=x3的對稱中心是(0，0);y=(x-h)3的對稱中心是(h，0);y=(ax-h)3的對稱中心是(，0)，而y=(ax-h)3=a3x3-3a2hx2+3ah2x-h3，對稱中心的橫坐標是x=-，因此g(x)=ax3+bx2+cx+d對稱中心的橫坐標為x=-.

說明:這樣得出結論，顯然不夠嚴密，但在時間緊、任務重，而且在不要求證明的情況下，不失為一種明智的選擇——總比沒有方法強.

利用導數和極值:不妨考慮g′(x)=3ax3+2bx2+c與x軸有兩個交點的情形，這時(x1， g(x1))與(x2， g(x2))是兩個極值點，其中點橫坐標x0==-就是對稱中心的橫坐標，由此可得出y=g(x)的對稱中心就是(-，g(-)).

配方:y=(x+)3+(c-)(x+)+，∴對稱中心為(-，).

說明:通過配立方，轉化成f(x)=a(x-b)3+c(x-b)+d的形式，再平移得奇函數g(x)=f(x-b)+d=ax3+cx，從而求出三次函數f(x)圖像的對稱中心.

事實上，我們可以證明這樣一個定理:三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是關于點對稱，且對稱中心為點(-，f(-)).

證明:假設函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的對稱中心為(m，n).按向量=(-m，-n)將函數的圖像平移，則所得的函數y=f(x+m)-n是奇函數， ∴-y=f(-x+m)-n， ∴ f(x+m)+f(-x+m)-2n=0，化簡得(3ma+b)x2+am3+bm2+cm+d-n=0.上式對x∈R恒成立，所以3ma+b=0 m=-，n=am3+bm2+cm+d= f (m)= f (-).

說明三次函數的對稱中心不僅存在，而且是曲線上的某一個點，即對稱中心為(-， f (-)).

6. 難度分析.

本題設置了多個障礙，首先是(Ⅰ)(ii)中的參數太多，不知道誰表達誰好，也就是說確定解題方向本身就有難度;二是一旦確定了解題方向，運算量又太大，比如求出x1與x2的關系就是一個難度;三是類比也設置了難點，也就是說類比的時候要找到隱蔽的條件:點P1不過中心.還有就是在得到x2=-2x1時，x2與x3也有類似關系，這里也算是一個跳躍，一個要跨越的障礙，如果重新用求出x1與x2的方法，再求x2與x3的關系或再重新計算S2便顯得多余，費時費力.很多同學放棄(Ⅰ)(ii)和(Ⅱ)的解答，主要是沒有思路或者被復雜的運算嚇著了.

7. 建議和啟示.

如果在(Ⅰ)(ii)中能特別注明“x1是f(x)的對稱中心的橫坐標”，則第(Ⅱ)問的類比會正確一些，得分率高一些，也顯得人文一些，而且能給同學們求g(x)的對稱中心提供施展的舞臺——可以考查同學們利用現有知識探求未知的能力.

本題對運算能力、類比概括能力的要求較高，對同學們的研究能力、探索能力是一個考驗，在運動變化中發現不變量、不變關系，對于考查同學們的運動變化思想，特殊與一般的思想，有限與無限的思想是一個很好的探索.從題目本身的創新來看，筆者總感覺猜題押題是不能解決問題的，也就是說題海戰術并不奏效——這也是命題者的初衷吧，提高同學們的數學素養，夯實基礎，實施素質教育才是根本.在今后的教學中，一是要適當拓展教材內容，如三次函數的奇偶性、對稱性等問題;二是要重視研究性學習和研究性復習，提高同學們的探究能力;三是作為壓軸題要交給同學們一些方法，盡量完成第(Ⅰ)問，努力完成自己認為有把握的其他問題，如果思索了一些時間，還無眉目，對一些同學而言就應該果斷放棄，不做無用功，把時間用在更有把握的問題上，或把時間用來檢驗，等等.

責任編校 徐國堅