集合中需要注意的幾個問題

作為高中數學的基礎知識，集合概念抽象，符號術語多.進入高中，學習數學的第一課，就是集合.對于初學集合的同學來說，常常因為概念不清晰，理解不透徹，解題思路不嚴謹，造成不必要的錯誤，形成思維障礙，甚至影響整個高中數學的學習.本文主要探討集合學習中需要注意的幾個問題，僅供大家參考.

一、注意弄清集合元素的類型，學會運用元素分析法審視集合的有關問題

在集合學習時，較多遇到的集合都是數集，比較少見的還有點的集合、圖形的集合等等，有時即使是數集，其含義也在很多時候是不同的.

例1 比較下列集合的異同，說出下列集合的元素類型.

(1){x|y=x2+1} (2){y|y=x2+1}

(3){(x，y)|y)=x2+1}(4){y=x2+1}

分析 此類問題主要抓住元素的屬性，以及集合的表示方法之間的異同點.不少同學會認為(1)與(2)是相同的，沒注意它們的元素一個是x，另一個是y，還有就是將(4)的元素看成y，而不是方程.

解析 (1)自變量的取值范圍，(2)函數值的取值范圍.(3)拋物線上的點組成的集合，是點集.(4)一個方程組成的集合，只含有一個元素.

為了幫助大家加深理解，給出下面的變式:

變式1 集合M={y|y=x2，x∈R}，N={y|y=2-|x|，x∈R}，則M∩N=( )

A. {(-1，1)}B. {(-1，1)，(1，1)}

C. {y|0≤y≤2}D. {y|y≥0}

分析 不少同學會由y=x2，y=2-|x|，解得x=-1，y=1，或x=1，y=1，錯選B.錯誤的原因就是沒有抓住代表元素的屬性，我們注意到兩個集合中的元素y都是各自函數的函數值，因此，M∩N是y=x2和y=2-|x|這兩個函數的值域的交集，而不是它們的交點.

解析 由于M= {y|y≥0}，N= {y|y≤2}，所以M∩N={y|0≤y≤2}，選C.

二、準確地判斷集合之間的關系，通過對研究對象的分析解決具體問題

集合關系是從整體上研究問題的一種思想方法，初中階段對個體(具體的數)間的相互關系研究的較多，對整體研究的較少.因此集合關系的研究也是易出錯或學習困難的.

例2 集合A={x|x=2k，k∈N*}，B={x|x=4k，k∈N*}，試確定集合A與B的關系.

分析 很多同學都會得AB，因為只從數4是2的倍數關系就想到AB，并且這種思維方式是帶有普遍性的，也很容易導致錯誤.我們可把集合所表示的數列舉出部分，也可從“集合A表示的哪一類數，集合B表示又是哪一類數，這兩類數之間又有什么關系”角度出發，從大范圍、大角度下手，從而輕松地解決問題.

解析 法一:從個體出發，將這兩個集合的元素一一列出，再引導他們觀察;法二:整體把握，集合A是表示2的倍數，集合B是表示4的倍數，抓住“4的倍數都包含在2的倍數中”.答案:BA.

此類題都要求準確確定集合元素，從具體的元素關系得出集合間關系.這類問題難度還可提高，只要適當變化形式題型較多，在歷年高考中都非常重視此類題型.

變式2 設集合M={x|x=+，k∈Z}，N={x|x=+，k∈Z}，則()

A. M=N B. MN C.MN D. M∩N=

分析 本題是一道高考題，根據例2的思考角度，可從兩個方面著眼，相比較而言，從宏觀角度出發，對培養我們的整體思維以及對快速解決問題都有利.

解析 對集合變形整理，得M={x|x=，k∈Z}，N={x|x=，k∈Z}，由于k+2表示所有整數，2k+1表示奇數，因此MN ，選C.

三、重視空集的特殊性，防止由于忽視空集這一特殊情況導致的解題失誤

集合關系中有許多問題會考慮到一個特殊的集合-空集，而它往往容易被大多數同學忽略.

例3 若A={x|x2+x-6=0}，B={x|mx+1=0，m∈R}，且AB，求m能取的一切值.

分析 本題本質是研究集合A、B包含關系，需要分別解兩個方程，所以大多數同學想當然的由集合B解出x=-，這樣做只想到m≠0時的情況，而對m=0時B=也符合條件忽略掉了，造成錯誤.

解析 當m=0時，B=，符合題意;當m≠0時，由A解得x=2或-3，再由B得x=-，所以m=-或.

四、關注形式定義問題，培養新的問題情景下知識的遷移、創新能力

集合中有一類型的題是形式定義給出條件的，由于初中沒有接觸過這類問題，不少同學遇到此類問題時經常是束手無策，又或者容易做錯.

例4設S={x|x=m+n，m，n∈Z}，

(1)若a∈Z，證明a∈S;

(2)若x1∈S，x2∈S，試判斷x1+x2、x1x2與S的關系.

分析 因為在初中學習中沒有遇到這種利用形式定義來求解的類似文題，所以大多數同學難于理解此題的題意.實際上讓同學正確理解集合S的含義是關鍵:只要能寫成一個整數加上另一個整數與的積的形式，則這個數就是S的元素.讓同學自己試著寫出集合S的幾個元素，從具體元素體會其特點，再回一般問題的研究.

解析 (1)若a∈Z，則a=a+0. ∵a，0∈Z， ∴ a∈S;

(2)若x1∈S，x2∈S，則x1=m1+n1(其中m1，n1∈Z)，x2=m2+n2(其中m1，n1∈Z)，

x1+x2=m1+n1+m2+n2=m1+m2+n1+n2=(m1+ m2)+(n1+n2).

顯然:(m1+ m2)∈Z，(n1+n2)∈Z，故x1 +x2∈S.

類似可證明x1x2 ∈S(請同學們去完成)，此類問題同學們掌握好對后期學習復數及在高考中遇到新定義類題是很有作用的.

變式3 中學數學中存在許多關系，比如“相等關系”、“平行關系”等等.如果集合A中元素之間的一個關系“-”滿足以下三個條件:

(1)自反性:對于任意a∈A，都有a-a;

(2)對稱性:對于a，b∈A，若a-b，則有b-a;

(3)傳遞性:對于a，b，c∈A，若a-b，b-c，則有a-c.

則稱“-”是集合A的一個等價關系.例如:“數的相等”是等價關系，而“直線的平行”不是等價關系(自反性不成立).請你再列出三個等價關系: .

分析 本題將所學知識遷移到集合，在集合中新定義一個關系“-”，只需很好地理解關系所滿足的三個條件，聯系課本所學的知識做出解答，這正是“學于課本，用于課本”.

解析 答案不唯一，如“圖形的全等”“圖形的相似”“非零向量的共線”“命題的充要條件”等等.

這種題型對培養同學們的遷移、創新能力是有一定作用的.同學們在遇到此類問題時盡量理解透徹，不要等以后再加強.一般我們在了解高考要求的前題下，在相關講解時努力用高的標準來要求，這也體現了突出重點.

五、體會集合中蘊含的數學思想，掌握解決集合問題的基本規律

布魯納說過，掌握數學思想可使得數學更容易理解和記憶，領會數學思想是通向遷移大道的“光明之路”.集合單元中，含有豐富的數學思想內容，例如數形結合的思想、分類討論的思想、等價轉化的思想、正難則反及運動變化的思想等等.

例5 已知集合M={x|-1≤x<2}，N={x|x-a≥0}，若M∩N≠，求a的取值范圍.

分析 解決此題關鍵是:先化簡集合N，再用數軸表示M、N.

解析 讓表示數a的點在數軸上運動(如圖)，如果a>2或a=2，則M∩N是空集，不符合題意;如果a<2，則符合題意.

此題充分體現了數形結合、分類討論及運動變化思想在數學中的運用，對剛剛接觸高中數學的學生來說，要盡量理解透.

以上僅就高中新生學習集合中需要注意的一些問題加以說明，從上五個問題的處理上我們認為對高中新生學習數學的難處要早想到，要多站在學生立場想問題，特別是對于剛升高中的同學來說，盡量減少他們在學習數學中的阻礙，提高他們學好數學的信心非常重要.

責任編校 徐國堅