通法與巧法“對對碰”

在高考中，解析幾何考題的能力要求往往比較高，既注重對考生的分析問題能力的考查，又注重對代數(shù)運(yùn)算能力的考查，2010年江蘇卷解答題第四題就是這類問題，它主要考查直線和橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系.

題目 如圖(1)，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓方程+=1的左右頂點(diǎn)分別為A，B，右焦點(diǎn)為F，設(shè)過T(t，m)的直線TA，TB分別交橢圓于M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0.

(1) 設(shè)動點(diǎn)P滿足PF2-PB2=4，求點(diǎn)P的軌跡;

(2) 設(shè)x1=2，x2=，求點(diǎn)T的坐標(biāo);

(3) 設(shè)t=9，求證:直線MN必過x軸上一個定點(diǎn).

仔細(xì)分析該試題，我們發(fā)現(xiàn)第(1)(2)問，能力要求不高，大多數(shù)考生都應(yīng)該能完成，故第(1)(2)問的解從略，答案為:(1)點(diǎn)P的軌跡為x=;(2)點(diǎn)T的坐標(biāo)為7，，而第(3)問卻讓考生頗費(fèi)思量，其實(shí)此題“通法”與“巧法”都能讓我們直達(dá)“成功的彼岸”!

1.“通法”誠可貴.

點(diǎn)撥1 我們利用M，N在直線和橢圓上得到M，N的坐標(biāo)所滿足的方程，解出M，N的坐標(biāo)(用m表示)，從特殊情形得到定點(diǎn)D的坐標(biāo)，再由三點(diǎn)坐標(biāo)得到斜率相等完成定點(diǎn)的證明.

由題設(shè)得直線AT的方程為y=(x+3)，直線BT的方程為y=(x-3)，點(diǎn)M(x1，y1)滿足y1=(x1+3)，+=1，消去y1得=-，∵x1+3≠0，∴x1-3=-，∴x1=，y1=.同理，x2=，y2= .

若x1=x2，則m=2，此時直線MN:x=1，過D(1，0);

若x1≠x2，則kMD==，kND==，∴kMD=kND，M，N，D三點(diǎn)共線，綜上，MN過定點(diǎn)D(1，0).

2.“巧法”價更高.

點(diǎn)撥2 我們利用A，M，T、B，N，T三點(diǎn)共線得到M，N的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，消去t后得到一個恒等式2x2y1-6y1=x1y2+3y2.又M，N在橢圓上，其坐標(biāo)滿足橢圓方程，這也是一個恒等式，利用它的變式將=、=變形為=及=，消去t又可以得到2x1y2-6y2=x2y1+3y1，依據(jù)所得到的兩個恒等式得到y(tǒng)1x2-y2x1=y1-y2，直線MN過定點(diǎn)D(1，0).

設(shè)MN與x軸的交點(diǎn)為D，由A，M，T三點(diǎn)共線有=，同理=，∴=，整理得2x2y1-6y1=x1y2+3y2…①. 又+=1，=×，∴=×=，同理有=×=，∴=，整理得2x1y2-6y2=x2y1+3y1…②.①-②得x2y1-x1y2=y1-y2 ，若x1=x2，則y1≠y2，∴x1=x2=1，MN過點(diǎn)D(1，0);若x1≠x2，則kMN=，直線MN:y-y1=(x-x1)，令y=0得xD==1.綜上，MN過定點(diǎn)D(1，0).

類題演練 已知A，B為雙曲線x2-y2=4的左右頂點(diǎn)為A、B，T為直線x=1上的任意一點(diǎn)，直線TA，TB分別與雙曲線交于M，N兩點(diǎn)，求證:直線MN必過x軸上一個定點(diǎn)D(4，0).

證明 設(shè)MN與x軸的交點(diǎn)為D，由A，M，T三點(diǎn)共線有=，同理=-t，∴=-，整理得3x2y1-6y1=-x1y2-2y2 …①. 又x12-y12=4，=，∴=，同理有=-t，∴=-，整理得3x1y2-6y2=-x2y1-2y1…②. ①-②得x2y1-x1y2=4(y1-y2)，若x1=x2，則y1≠y2，∴x1=x2=4，MN過點(diǎn)D(1，0);若x1≠x2，則kMN=，直線MN:y-y1=(x-x1)，令y=0得xD==4.綜上，MN過定點(diǎn)D(4，0).

責(zé)任編校徐國堅(jiān)