數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)及其建構(gòu)策略

摘要現(xiàn)代學(xué)習(xí)的認(rèn)知理論認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程實(shí)際上是學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立、擴(kuò)大或重新組織的過程。數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)就是造就學(xué)生良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。本文就數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的含義、特征以及如何建構(gòu)良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行論述。

關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu) 建構(gòu) 策略

中圖分類號:O119文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

現(xiàn)代學(xué)習(xí)的認(rèn)知理論認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程實(shí)際上是學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立、擴(kuò)大或重新組織的過程。數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)就是造就學(xué)生良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，為后繼學(xué)習(xí)提供保障，最終提高學(xué)生的問題解決能力，使學(xué)生得到全面發(fā)展。本文就數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的含義、特點(diǎn)以及如何建構(gòu)良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行論述。

1 數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的含義

關(guān)于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的含義，國內(nèi)外有不同的觀點(diǎn)。美國認(rèn)知心理學(xué)家奧蘇伯爾認(rèn)為，認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是學(xué)生頭腦里的知識結(jié)構(gòu)，即知識結(jié)構(gòu)通過內(nèi)化在學(xué)習(xí)者頭腦中形成的觀念的內(nèi)容和組織。數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是人們在對數(shù)學(xué)對象、數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)感知與理解的基礎(chǔ)上形成的一種心理結(jié)構(gòu)。我國曹才翰教授等曾明確指出:“所謂數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，就是學(xué)生頭腦里的數(shù)學(xué)知識按照自己的理解深度、廣度，結(jié)合著自己的感覺、知覺、記憶、思維、聯(lián)想等認(rèn)知特點(diǎn)，組合成的一個具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu)。”①可見數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對數(shù)學(xué)概念的網(wǎng)絡(luò)化聯(lián)系、數(shù)學(xué)命題之間的關(guān)系、數(shù)學(xué)技能以及數(shù)學(xué)命題的應(yīng)用條件系統(tǒng)以及數(shù)學(xué)思想、方法與學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)相互作用形成的一種具有主觀能動性和開放性的、立體多層次的整體知識結(jié)構(gòu)。

2 數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)有著密切聯(lián)系，而且二者的聯(lián)系已經(jīng)引起了人們的廣泛注意。但是，學(xué)生頭腦中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教材中所安排的知識結(jié)構(gòu)是有差異的。

2.1 信息表征方式不同

教材中的數(shù)學(xué)知識主要以語言文字、符號、圖形等方式詳細(xì)表達(dá)，而頭腦中的信息主要是以語義的方式簡約表征的，多以直覺的方式儲存。正如布魯納所說，“詳細(xì)的資料是靠簡化的表達(dá)方式保存在記憶里的。”可見，認(rèn)知結(jié)構(gòu)已經(jīng)將知識表征和個人智力活動方式融為一體，是二者的有機(jī)統(tǒng)一和結(jié)合。

2.2 信息的構(gòu)造方式不同

教材中的數(shù)學(xué)知識前后是有一定的順序性和邏輯性，而學(xué)生頭腦中的知識的順序性淡化了，以其他的方式構(gòu)造起來。如有人主張知識在頭腦中的構(gòu)造應(yīng)該是網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。而且由于人們對數(shù)學(xué)知識的理解、感知、選擇和組織的差異，使得信息在頭腦中的構(gòu)造方式也因人而異。例如，研究表明，專家傾向依據(jù)高級原則來組織他們的知識，而新手則依據(jù)表面特征以零散的孤立的方式儲存知識(Chase，Simon，1973年)。②所以對同樣的數(shù)學(xué)知識往往形成不同的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和解決問題的方法。

2.3 知識的完備性不同

教材中的數(shù)學(xué)知識是完備的、沒有缺口的。而頭腦中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是通過人們加工過留在頭腦中的，是有缺口的。也就是說，即使是書上寫過的，老師講過的知識，頭腦中不一定能完整的領(lǐng)會和掌握，在運(yùn)用時不一定能達(dá)到熟練程度，也不一定能順利的完成遷移。這就要求幫助學(xué)生形成完備的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以利于學(xué)生對知識的理解和運(yùn)用。綜上可以看出，數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)只有通過主體的的內(nèi)化，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性才能轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在這個過程中既要注意二者的聯(lián)系，更要注意二者的區(qū)別。

3 良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特征

學(xué)生學(xué)習(xí)書本知識的目的不是機(jī)械地記住孤立的知識項(xiàng)目，而是有效的形成組織良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。③良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有哪些特征呢?根據(jù)奧蘇伯爾的觀點(diǎn)，良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)應(yīng)有以下三個特征:(1)可利用性——當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識時，他原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具有可以同化新知識的固定點(diǎn)，也就是說他認(rèn)知結(jié)構(gòu)中應(yīng)該有來同化新知識的較一般的、概括的、包容廣的觀念。認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的有關(guān)知識的概括性越高，包容范圍越大，遷移的價值越大，越有助于學(xué)習(xí)新的知識。(2)可辨別性——當(dāng)原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)同化新的數(shù)學(xué)知識時，新舊知識的異同點(diǎn)可以清晰地被辨別。兩者可分辨度越高，則越有助于實(shí)現(xiàn)正遷移、避免干擾，從而有助于學(xué)習(xí)新知識。(3)穩(wěn)定性——認(rèn)知結(jié)構(gòu)中起固定作用的觀念是牢固穩(wěn)定的。鞏固程度越高，越有助于新知識的學(xué)習(xí)。④這些主要是側(cè)重于概念原理方面。何小亞則從數(shù)學(xué)解題的角度提出了良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)應(yīng)具有以下四個特征:(1)足夠多的觀念;(2)足夠穩(wěn)定而又靈活的產(chǎn)生式;(3)層次分明的觀念網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu);(4)一定的問題解決的策略的觀念。⑤

4 建構(gòu)良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的策略

良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有利于學(xué)生知識的合理表征和貯存，有利于知識的遷移，促進(jìn)學(xué)習(xí)者加深對數(shù)學(xué)的理解和靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，有利于發(fā)展數(shù)學(xué)能力。我國古代就有“以其所知，喻其不知，使其知之”的說法。為此要按照良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特征來培養(yǎng)學(xué)生具有良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。下面將從教材、教師、學(xué)生三方面提出一些建構(gòu)良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的策略。

4.1教師方面

4.1.1 深入了解學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

古語云:“知己知彼，百戰(zhàn)不殆。”教學(xué)也不例外，教學(xué)中的一個重要的出發(fā)點(diǎn)是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，正如心理學(xué)家奧蘇伯爾所說:“影響學(xué)習(xí)的唯一最重要因素就是學(xué)習(xí)者已知了什么。并因此進(jìn)行教學(xué)。”深入了解學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是建構(gòu)良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。教師只有明確學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中是否具有足夠多的學(xué)習(xí)新知識所需的相關(guān)概念后，才能切實(shí)把握教學(xué)的起點(diǎn)，進(jìn)行針對性教學(xué)。如在“三角函數(shù)性質(zhì)”的教學(xué)中，教師可先了解學(xué)生是否切實(shí)掌握了函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，即函數(shù)定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性等相關(guān)知識。了解學(xué)生頭腦中原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是否具有同化“三角函數(shù)性質(zhì)”的相應(yīng)的知識。經(jīng)過了解，對于原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中缺少的有關(guān)概念加以補(bǔ)充，那些模糊的和遺忘的概念加以區(qū)別或增加其穩(wěn)定性。這里可采用奧蘇伯爾所提倡的“先行組織者”的策略。一方面激活認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已具備的觀念，另一方面增加新材料與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中那些類似概念之間的可辨性。

4.1.2 根據(jù)知識分類采取適當(dāng)方式進(jìn)行教學(xué)

由于數(shù)學(xué)知識可以分為陳述性知識，程序性知識和過程性知識等三類。⑥根據(jù)不同類型的知識，教師以不同教學(xué)方式為學(xué)生提供數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，從而有利于學(xué)生將其內(nèi)化為良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。例如，在學(xué)習(xí)陳述性知識時就應(yīng)該幫助學(xué)生形成命題網(wǎng)絡(luò)表征，它是“層次網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)”與“激活擴(kuò)散結(jié)構(gòu)”的復(fù)合。這樣可將分散于各單元中的知識溝通起來，引導(dǎo)學(xué)生把握知識的整體，領(lǐng)悟其中的規(guī)律和實(shí)質(zhì)，更重要的是掌握知識的來龍去脈。對于程序性知識可幫助學(xué)生建立雙向產(chǎn)生式，即學(xué)生不僅僅知道一條“如果……那么……”規(guī)則，還應(yīng)該知道在什么時候使用這條規(guī)則。之后再將這些產(chǎn)生式合理組織，可以在解決問題時快速提取。教師要根據(jù)數(shù)學(xué)知識的差別，學(xué)生的心理變化，靈活地處理優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)，促進(jìn)良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成。

4.1.3 加強(qiáng)思想方法的教學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是使學(xué)生能把習(xí)得的內(nèi)容遷移到新情境中。數(shù)學(xué)的概念、原理是正確的思想、方法的載體，數(shù)學(xué)的思想方法是隱含在數(shù)學(xué)概念、原理之中。知識越具體，應(yīng)用的范圍越狹窄，只能用于非常具體的情境，也容易遺忘;概括性越高，其應(yīng)用范圍越廣，可應(yīng)用于任何情境中的類似問題，也有利于保持。而數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的一般性原理，它有高度的概括性，有助于學(xué)習(xí)的遷移。因此，要發(fā)展學(xué)生良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，就必須加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。教師在課堂教學(xué)中為學(xué)生安排恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情境，以暴露數(shù)學(xué)思維活動的真實(shí)過程，使學(xué)生切實(shí)體驗(yàn)到數(shù)學(xué)思想、方法的意義和作用是非常重要的。教師應(yīng)當(dāng)努力把知識教學(xué)提高到思想、方法教學(xué)的層次水平上，要針對具體內(nèi)容研究設(shè)置教學(xué)情境的方法，以展示數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程，反映數(shù)學(xué)知識之間在數(shù)學(xué)思想方法上的繼承性和發(fā)展性，為學(xué)生提供一個包含數(shù)學(xué)思想、方法的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)體系，以利于學(xué)生建立起完整的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

4.2 學(xué)生方面

教師為學(xué)生構(gòu)建良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)只能提供外部條件，關(guān)鍵還是要靠學(xué)習(xí)者自身，學(xué)生是建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的主體。

4.2.1 在總結(jié)中建構(gòu)良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

學(xué)生掌握的知識只有做到條件化、結(jié)構(gòu)化、自動化、策略化，才有利于解決問題。尤其是對概念、命題的掌握，知識在頭腦中無條理地堆積的話，那么知識越多，越不利于問題的解決。正像烏申斯基所指出的那樣:“不可迷戀于沒有系統(tǒng)的各種事實(shí)，塞滿了零碎的、無聯(lián)系的知識的頭腦就像里面一切都擺得毫無秩序的一個倉庫，在這里連主人自己也什么東西都找不到。”這就要求學(xué)生對學(xué)習(xí)的知識進(jìn)行總結(jié)，將其組織、抽象、概括、歸類等。雖說前面提到了教師在建立知識結(jié)構(gòu)時的作用，但是只有學(xué)生積極主動地建構(gòu)才能起到真正的效果。例如，在學(xué)完平行四邊形的判定之后，學(xué)生要對這些知識進(jìn)行總結(jié)，回憶講了一些什么定理，它們之間有什么聯(lián)系，有些什么方法。并且將它們的結(jié)構(gòu)總結(jié)出來，最后與老師的總結(jié)對比，看看哪些地方不足，哪些地方可取，也可與同學(xué)交流共同提高。最好將知識用CPFS結(jié)構(gòu)表征，⑦從不同角度考察知識，可以從章節(jié)角度總結(jié)，也可以從功能、作用方面重新構(gòu)造知識。形成不同的概念域，最終形成概念系，并且搞清各結(jié)點(diǎn)的邏輯意義和聯(lián)系。將數(shù)學(xué)知識進(jìn)行整合，形成一種數(shù)學(xué)特有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。這一切的獲得都要學(xué)生發(fā)揮主觀能動性，不斷地實(shí)踐才能達(dá)到。

4.2.2 在反思中建構(gòu)良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是具體性較差與現(xiàn)實(shí)有一定距離的活動，自我意識的作用更加突出，更需要對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)加強(qiáng)自我反思。而現(xiàn)實(shí)中，學(xué)生往往以獲得正確答案為滿足，不對解題過程進(jìn)行反思，不對解題經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)進(jìn)行反思，不對解題方法進(jìn)行反思。這樣導(dǎo)致了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率低，學(xué)習(xí)技能弱，學(xué)習(xí)效果差。學(xué)生學(xué)習(xí)時，要善于剖析自己發(fā)現(xiàn)和解決問題的過程;學(xué)習(xí)中運(yùn)用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，它們的合理性如何，效果如何，有沒有更好的方法;學(xué)習(xí)中走過了哪些彎路，犯過了哪些錯誤，原因何在。只有在學(xué)習(xí)的過程中不斷的反思，才能促進(jìn)良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的培養(yǎng)。學(xué)生如果在得到結(jié)論后對思路進(jìn)行反思，探討成功的經(jīng)驗(yàn)或失敗的教訓(xùn)，那么思維可在更高層次上進(jìn)行概括，將數(shù)學(xué)理論上升到理性水平。在反思的過程中，學(xué)生的思維朝者著開放、靈活、精明、新穎的方向發(fā)展，在對問題的不斷深化中提高自己的概括能力。反思是對自身的思維過程、思維結(jié)果進(jìn)行再認(rèn)識和檢驗(yàn)的過程，在反思的過程中整個認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到重構(gòu)和完善。

總之，建構(gòu)起良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是我們的目標(biāo)，在這個過程中，需要師生的共同努力，希望以上的策略能對建立良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)有所幫助。

注釋

①曹才翰，蔡金法.數(shù)學(xué)教育學(xué)概論[M].南京:江蘇教育出版社，1989:52.

②張慶林.當(dāng)代認(rèn)知心理學(xué)在教學(xué)中的應(yīng)用[M].重慶:西南師范大學(xué)出版社，1995:56.

③皮連生.教育心理學(xué)(第三版)[M].上海:上海教育出版社，2004:106.

④[美]奧蘇伯爾等.教育心理學(xué)[M].佘星南，宋鈞，譯.北京:人民教育出版社，1994:202-222.

⑤何小亞.建構(gòu)良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的教學(xué)策略[J]數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2002.11(1):24-26.

⑥⑦喻平.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].南寧:廣西教育出版社，2004:65-74.