基于響應面法的結構極限承載力可靠度分析

摘要對于結構體系可靠度而言，由于構件多而且組成形式復雜，導致結構的功能函數往往十分復雜甚至寫不出其解析表達式，傳統的可靠度計算理論難以應用。本文提出將響應面方法和非線性有限元分析結合起來對結構體系可靠度進行計算的新方法。首先簡單介紹一下可靠度和響應面法的基本理論，然后通過一個實例說明這種方法的可行性。

關鍵詞響應面法 結構極限承載力 可靠度

中圖分類號:TU312文獻標識碼:A

1 結構可靠度的基本理論

結構的可靠度是指結構在規(guī)定條件下和規(guī)定時間內，完成規(guī)定功能的概率。①描述一個結構是否安全，可用結構的可靠概率Ps來表示，Ps越大，結構越安全;也常常用結構的失效概率Pf來表示，Pf越小，結構越安全。

設R和S分別為結構的承載能力和荷載效應，它們的概率密度函數分別為fR(r)和fs(s)。這樣結構的功能函數就可以寫成:

容易看出Ps+Pf=1。實際工程中用Pf表示結構可靠度更方便，故一般采用Pf作為結構可靠性的度量。②

由于結構體系的功能函數十分復雜，而且基本隨機變量的聯合概率密度函數也難以得到，故在在結構體系可靠度計算中一般不采用(1)或(2)式計算，而是采用比較簡便的近似計算方法，先求得結構的可靠度指標，再去求相應的失效概率。下面介紹的響應面法就是這樣的一種方法。

2 響應面法

影響面法是新近提出的對極限狀態(tài)方程進行數值近似的一種有效方法，其最早是由數學家Box和Wilson于1951年提出來的。指導思想是用一個合適的梯度函數(Graduating Function)，在隨機變量空間內我們關心的局部區(qū)域上，用簡化的數學函數方程式近似表達一個未知的函數(即是極限狀態(tài)方程)，之后可以利用擬合出來的函數方程式在這個區(qū)域內近似表達極限狀態(tài)方程，這個擬合的過程就叫影響面法。③

假設結構體系效應Y可以看成是隨機輸入變量X1，X2，…，Xn的函數:Y=g(X1，X2，…，Xn)(3)

假設Y在隨機輸入變量X1，X2，…，Xn變量空間里是連續(xù)的光滑函數，這樣我們可以將g(X)在點Z=(X1，X2，…，Xn)作泰勒展開:

(4)

轉化為多項式形式，

(5)

上式中的b0、bi、bii、bi，j為未知的待定系數，可通過試驗值或者數值分析結果利用最小二乘法進行回歸分析后得到。一旦確定了這個表達式，就可以用它來近似表達功能函數。

3 基于響應面方法的結構承載力可靠度分析

影響面法有一個很好的性能就是如果各個隨機變量的樣本點取值合理，是可以利用較少幾組數據就可以擬合出在隨機變量變化范圍內的極限狀態(tài)的影響面表達式，這樣我們就可以利用有限的幾組珍貴數據進行對結構體系承載能力的可靠度分析。

利用響應面法計算體系承載力可靠度的步驟如下:④(1)首先確定結構的隨機變量的分布模型和參數，這一般可以通過實驗分析得到或者參考相關的統計資料;(2)通過敏感性分析，確定對結構體系承載力影響比較顯著的隨機變量，一般取敏感性最大的前三個變量;(3)通過各隨機變量的特殊樣本值，計算結構體系的承載能力值，這一般通過數值分析方法，利用有限元進行計算;(4)利用樣本點組擬合出功能函數的影響面方程表達式，這要通過最小二乘法對其擬合;(5)利用求解出的影響面方程求解結構體系承載能力的可靠指標，計算其失效概率，這要利用可靠度計算理論中的一次二階矩方法。

4 算例

假設一鐵路桁架橋，其基本參數如下:(1)橋寬10m、橋長72 m、高12 m、每個節(jié)段長12 m;(2)材料性能:采用Q235鋼材，E=2.1E11，塑性模量為0、=0.3、=7850;(3)截面尺寸:上、下弦梁和橫梁:

A=0.02344、Iy=0.000965261333、Iz=0.000324513813、TKZ=0.46、TKY=0.46;

端斜梁:

A=0.02904、Iy=0.001236488、Iz=0.000720060480、TKZ=0.6、TKY=0.46;

其他腹桿:A=0.01492;

建立的有限元模型如下圖所示，

通過敏感性分析可知上、下弦梁和橫梁面積A1、端斜梁面積A2、腹桿面積A3對結構整體影響最為顯著。故可采用這三個隨機變量對體系可靠度進行分析。假設它們的分布模型和參數如下表所示，

通過對隨機變量取樣本點，進行確定性結構承載力分析，得到的分析結果如下表2所示，

通過對表2的模擬結果進行回歸分析，即可得到體系承載力響應面中的待定系數，進而得到結構體系承載力的響應面方程，如下式所示，

求得了承載力的響應面方程，我們就可以寫出如下式所示的承載能力極限狀態(tài)方程:

其中S為體系所受的荷載，這里僅考慮活載作用，定義活載FZZ為高斯分布，均值為5.52e5，變異系數取0.1。

由一次二階矩方法可以算得結構體系承載力的可靠度=5.62，即失效概率為Pf=9.55e-9。

5 結論

將影響面法和非線性有限元分析結合起來，采用實驗設計數據進行單次確定性極限承載力計算，根據計算結果擬合出結構體系承載能力的影響面方程，最后得出結構系統的極限承載力的極限狀態(tài)方程，計算出體系的可靠度。

注釋

①張偉主編.結構可靠性理論與應用.科學出版社，2008.1.

②貢金鑫，魏巍巍編著.工程結構可靠性設計原理.機械工業(yè)出版社，2007.

③王永勝.基于響應面法和蒙特卡羅法的混凝土結構可靠性分析.西安建筑科技大學(碩士學位論文)，2003.

④李廣慧，劉晨宇，托拉·歐尼弗里奧.響應面法及其在橋梁體系可靠度分析中的運用.鄭州大學學報(工學版)，2004(25).