具有CVaR風險厭惡成員的供應鏈協調

摘要:文采用Gan， Sethi Yan(2004)所建立的供應鏈協調框架研究供應鏈中供應商與零售商都是具有CVaR型風險厭惡的供應鏈協調問題。我們首先求解出相應的Pareto最優解，并設計相關合同達到Pareto最優解。當供應商的利潤是確定時，我們發現批發價格合同可以協調該供應鏈。而當供應鏈中供應商與零售商具有相同的風險偏好時，我們發現收入共享合同與回購合同可以協調該供應鏈。

關鍵詞:供應鏈管理;供應鏈協調;激勵合同;Pareto最優

一、 引言

本論文按照Gan，Sethi Yan(2004)建立的帶有風險厭惡成員供應鏈協同理論框架來研究具有CVaR風險厭惡成員的供應鏈協調。本論文通過先找出帕累托(Pareto)最優解，再設計靈活的合同來達到這些最優解。

本論文剩余章節的安排如下。第二節應用Gan，Sethi Yan(2004)的理論框架并刻畫其帕累托(Pareto)最優解，同時找出能協調該供應鏈的合同。第三節結束本文并建議未來的研究方向。

二、 模型及參數設定

本節考慮一個只包含一個供應商和一個零售商的兩級簡單的供應鏈。我們假定供應商與零售商都是具有CVaR型的風險厭惡供應鏈成員，其風險參數分別為?濁s與?濁r。衡量供應鏈協調合同的一個重要的特征就是合同的靈活性。Cachon(2002)指出一個協調的供應鏈合同如果調整一些參數就可以在供應鏈成員之間任意分配供應鏈的利潤。各個事件先后順序如下。首先，在一個銷售季節開始時，零售商根據需求預測以及供應商提供的合同確定訂貨量。供應商接收到零售商的訂單之后，零售商在銷售期末收到供應商的發貨。需求在期末實現，剩余庫存被清倉處理。假定沒有訂貨的提前期，并且供應商沒有產能約束的限制。同樣也假定供應商有義務通過給零售商提供相關合同來協調該供應鏈。記p為單位零售價格，w為單位批發價格，c為供應商的單位生產成本而v為單位清倉處理價值。不失一般性，假定p>w?叟c>v。記q為訂貨量以及?濁r為零售商的CVaR風險厭惡參數。隨機需求D的概率密度函數為f而其概率分布函數為F，需求D的隨機實現記作x。下標s代表供應商，r代表零售商，c代表集成系統而d則表示分散系統。帶有*的變量表示相應的最優值。

對于隨機利潤∏(q，D)以及給定的CVaR風險厭惡參數?濁，按照RockafellarUryasev(2000)的定義，隨機利潤∏(q，D)的CVaR記作

如果按照傳統風險中性供應鏈協調的框架來對風險厭惡的供應鏈進行協調，由于不知道集成供應鏈的風險態度而無法對風險厭惡供應鏈進行協調，因此本論文采用Gan， Sethi Yan(2004)創立的新的風險厭惡供應鏈協調框架。

1. 協調具有 風險態度的供應鏈。本節按照Gan，Sethi Yan(2004)創建的協調框架，我們先刻畫帕累托(Pareto)最優決策集。記a為外部決策，?茲(a)為分配隨機利潤的分配法則。另外記∏r(a，?茲(a))作為具有決策a和分配法則?茲(a)的零售商的利潤而∏s(a，?茲(a))作為具有決策a和分配法則?茲(a)的供應商的利潤，記∏(a)為具有外部決策a時的供應鏈隨機利潤。

零售商的收益函數為

CVaR?濁r(∏r(a，?茲(a)))(1)

供應商的收益函數為

CVaR?濁s(∏s(a，?茲(a)))(2)

如果要獲得帕累托(Pareto)最優解，那么可以通過求解以下問題。

s.t.

∏s(a，?茲(a))+∏r(a，?茲(a))=∏(a)(3)

當考慮利潤分配法則時，個人理性可以得到保證。對于一般條件，很難找到合適的合同來協調具有CVaR風險厭惡的投資者。但是在兩種特殊情況下，可以找到具體供應鏈合同協調供應鏈。第一種特殊情況是供應商的利潤 ∏s(a，?茲(a))是確定性的，這時批發價格合同能協調供應鏈。第二種特殊情況則是供應商與零售商的 風險態度一樣，即?濁s=?濁r，這時收益共享合同以及回購合同可以協調該供應鏈。

2. 供應商有確定性利潤時的供應鏈協調。當供應商的利潤是確定性時，根據CVaR的定義，有CVaR?濁(∏s(a，?茲(a)))=∏s(a，?茲(a))。因而有以下性質。

性質1如果一個利潤分配法則對于任意外部行動a，最大化(8)與(9)之和，那么該分配法則是帕累托(Pareto)最優的。

證明:用反證法來證明上述性質。假定以下最優分配準則

?茲*(a)=argmax{CVaR?濁r(∏r(a，?茲(a)))+CVaR?濁s(∏s(a，?茲(a)))}

不是帕累托(Pareto)最優，那么就存在另一個帕累托(Pareto)最優解?茲′(a)，并且有CVaR?濁r(∏r(a，?茲′(a)))?叟CVaR?濁r(∏r(a，?茲*(a)))andCVaR?濁s(∏s(a，?茲′(a)))?叟CVaR?濁s(∏s(a，?茲*(a)))，這里至少有一個不等式嚴格成立。因此

CVaR?濁r(∏r(a，?茲′(a)))+CVaR?濁s(∏s(a，?茲′(a)))?叟 CVaR?濁r(∏r(a，?茲*(a)))+CVaR?濁s(∏s(a，?茲*(a)))

這與以下事實矛盾

?茲*(a)=argmax{CVaR?濁r(∏r(a，?茲(a)))+CVaR?濁s(∏s(a，?茲(a)))}

因此，該性質是正確的。

性質2 當供應商的利潤∏s(a，?茲(a))是確定性時，任何滿足以下等式的利潤分配法則都是帕累托(Pareto)最優的∏s(a，?茲(a))+∏r(a，?茲(a))=∏(a)

證明:可以解以下問題求解帕累托 (pareto)最優分配法則

s.t. ∏r(a，?茲(a))+∏s(a，?茲(a))=∏(a)(5)

由于∏s(a，?茲(a))是確定性的，根據Pflug (2000)中的性質有

CVaR?濁r(∏r(a，?茲(a)))+CVaR?濁s(∏s(a，?茲(a)))=CVaR?濁r(∏r(a，?茲(a)))+∏s(a，?茲(a))=CVaR?濁r(∏(a))

因而證明完成。

提示1 如果供應商的利潤是確定性的，那么確定帕累托(Pareto)最優的供應鏈協調目標的外部行動只與零售商的風險態度有關。

一旦找到滿足上述問題的利潤分配方案，就找到了供應鏈協調問題的帕累托(Pareto)最優解決方案，因而根據性質1到性質2，我們很自然有定理1。

定理1當供應商的利潤∏s(a，?茲(a))是確定時，如果

∏s(a，?茲(a))+∏r(a，?茲(a))=∏(a)

那么解(a*，?茲*(a*))就是帕累托 (Pareto)最優的。

上述問題中，外部決策只有訂貨量。所以根據性質1來求解帕累托(Pareto)最優解，只是需要把?濁r替代?濁。實際上，如果能找到滿足上述約束的合同，那么供應鏈就可以在帕累托(Pareto)最優的意義上被協調。批發價格合同就是滿足上述條件的合同。批發價格合同具有兩個主要的好處。首先，在批發價格合同條件下，供應商的利潤是確定性的。其次，批發價格合同也可以滿足帕累托(Pareto)最優的利潤分配法則。并且批發價格合同可以通過變換批發價格達到帕累托(Pareto)最優集，因此該合同是靈活的。所以該合同很容易滿足供應鏈成員的個體理性。下面的性質則研究供應鏈在批發價格合同協調情況下，供應鏈的最優行動。

很明顯，對任何的需求實現，都有∏(q，D)=∏r(q，D)+∏s(q)。因此，根據性質2，批發價格合同就是一個帕累托(Pareto)最優的利潤分配法則。因而對任何需求實現，供應商的利潤與供應鏈的利潤不是線性關系。根據定理1，最優的訂貨量q*可以通過求解下面的問題進行解答。

Cachon Lariviere(2002)證明收入共享合同與回購合同能協調供應鏈并且對供應鏈的利潤進行線性分配，但是這兩個合同不能協調我們的供應鏈，原因就是給定這兩種合同的情況下，供應商的利潤不在是確定性的了。

3. 成員具有相同風險態度的供應鏈協調。當供應商與零售商具有相同的CVaR風險態度，我們有?濁r=?濁s。此時，我們很自然可以考慮供應鏈的風險態度為?濁=?濁r=?濁s。對任何給定的外部行動a，如果要求解最優的利潤分配法則，我們需要求解下面的問題。

帕累托(Pareto)最優解可以通過性質1找到，這里我們只需要用?濁r或者?濁s代替?濁就可以。由“二”之“2”可知供應商的利潤是確定性時候，批發價格合同可以協調具有CVaR風險厭惡成員的供應鏈。實際上，只要有相應的合同能滿足利潤共享的約束限制，那么供應鏈就可以在帕累托(Pareto)最優的意義上被協調。而收入共享合同以及回購合同恰恰可以協調供應鏈。首先，收入共享合同與回購合同是靈活的合同，因為他們對于任何給定的需求都可以線性分配供應鏈的利潤。其次，他們可以通過改變供應鏈利潤共享份額達到帕累托(Pareto)最優集合中的所有點。所以這就滿足了個人理性。在下面定理中給出來收入共享合同以及最優的外部決策。

Cachon Lariviere(2002)證明收入共享合同與回購合同能協調風險中性的供應鏈，并且對供應鏈利潤進行線性分配。當供應鏈為具有相同風險厭惡的成員組成時，按照證明定理3一樣的步驟，回購合同也一樣可以協調該類型的供應鏈，因而我們有定理4。

三、 結論及展望

本論文根據Gan，Sethi Yan(2004)創建的供應鏈協調框架研究了單期兩階段的具有CVaR風險厭惡的供應鏈協調問題。供應商與零售商都采用CVaR作為其風險厭惡的衡量。在兩種比較特殊的情況下，論文求解其最優的帕累托(Pareto)行動以及利潤分配法則。當供應商的利潤是確定性時，論文證明了批發價格合同可以協調該供應鏈。而當供應商與零售商的風險態度一樣時，收入共享合同與回購合同可以協調該供應鏈。

然而，當兩者的風險態度不一樣，并且供應商的利潤不是確定時，還不清楚有何合同可以協調該供應鏈。而本論文也只研究了單期的供應鏈協調。未來的研究則需要考慮供應鏈成員風險態度不一樣時的供應鏈協調以及把單期模型擴展到多期。

參考文獻:

1. Agrawal V， Seshadri S. Risk intermediat- ion in supply chains.IIE Trans，2000，(32):819-831.

2. Cachon G， Lariviere M. Supply chain coordination with revenue-sharing contracts: str- engths and limitations. Working paper， University of Pennsylvania， Philadelphia， PA，2002.

3. 陳功，程希駿，馬利軍.基于CAViaR的DCC模型及其對中國股市的實證研究.數學的實踐與認識，2009，39(4):75-81.

4. Gan X， Sethi S， Yan H. Coordination of supply chain with risk-averse agents. Prod- uction and Operations Management，2004，13(2):135-149.

5. Gotoh J， Takano Y. Newsvendor Solutions via conditional Value-At-Risk minimization. Eur- opean Journal Of Operations Research，2007，(179):80-96.

6. Rockafellar R， Uryasev S. Optimization of conditional Value-at-Risk.Journal of Risk， 2000，(2):21-41.

7. 許明輝，于剛，張漢勤.帶有缺貨懲罰的報童模型中的CVaR研究.系統工程理論與實踐，2006，(10):1-8.

作者簡介:馬利軍，深圳大學管理學院管理科學系講師，香港中文大學博士、博士后;劉天卓，管理學博士，中國科學技術大學黨政辦公室副主任、講師。

收稿日期:2009-12-15。