用沖量定理法求解圓柱內(nèi)部的熱傳導(dǎo)問題

摘要:本文主要探究運用沖量定理求解非齊次邊界條件下圓柱形空間內(nèi)無源熱傳導(dǎo)相關(guān)問題。熱傳導(dǎo)問題的邊界條件，運用通常的線性變換很難齊次化，邊界條件齊次化后的泛定方程中會出現(xiàn)持續(xù)熱源項。文章中將持續(xù)作用的熱源看作為許許多多前后相繼的“瞬時”熱源的疊加，這就是沖量定理法在輸運問題在曲線坐標(biāo)系中應(yīng)用的擴展。

關(guān)鍵詞:沖量定理;熱傳導(dǎo);數(shù)學(xué)物理方法

中圖分類號:G633.7 文獻標(biāo)識碼:A 文章編號:1003-6148(2010)8(S)-0037-3

1 引言

有驅(qū)動力的波動方程和有源的輸運方程是重要的數(shù)學(xué)物理方程[1-3]，很多時候這類方程具有非齊次的邊界條件。求解這類問題使用最廣泛的方法是格林函數(shù)法，也稱點源響應(yīng)(Impulse Response)方法。在物理上可以用沖量定理求解格林函數(shù)，也可以應(yīng)用點源響應(yīng)的物理思想，直接運用沖量定理法求解具有非齊次邊界條件的非齊次泛定方程[1-3]。

沖量定理法的基本物理思想是把持續(xù)作用力看成許許多多前后相繼的“瞬時力”，把持續(xù)作用力引起的振動看成所有“瞬時”力引起的振動的疊加。此方法通常用在非齊次振動方程和輸運方程的定解問題求解中。將持續(xù)作用的力瞬時化，并應(yīng)用積分形式表示，然后運用沖量定理得到每一個瞬時力的效果。沖量定理法的一般解題過程可以用圖1描述。

本文從梁昆淼先生的《數(shù)學(xué)物理方法》[1]教材中的一道習(xí)題出發(fā)，將沖量定理法運用到柱坐標(biāo)系的輸運問題中，并結(jié)合齊次方程分離變量得到貝塞爾級數(shù)解。這是比單獨使用分離變量法更簡單、物理圖像更清晰的求解方法。

2 理論與方法

在學(xué)習(xí)求解輸運方程時，筆者碰到一道不能用常規(guī)方法化為簡單齊次方程的問題。題目來源于梁昆淼先生的《數(shù)學(xué)物理方法》(第三版)第11章第2小節(jié)的課后習(xí)題13題。

題目:勻質(zhì)圓柱半徑為ρ0、高L，試求解圓柱內(nèi)部的熱傳導(dǎo)問題: