三次函數極值的導數求解法

摘 要: 本文從函數極值概念出發，利用函數極值的導數求解方法，給出了三次函數極值的導數求解，并舉例應用。

關鍵詞: 函數極值 三次函數極值 導數求解

1.函數極值的概念

已知函數y=f(x)，其定義域是D。設x∈D，如果存在一個小區間(u，v)，使得x∈(u，v)?奐D，并且在此小區間內，當x≠x時，恒有f(x)f(x))，則稱函數f(x)在x處有極大值(或極小值)，并稱x是函數f(x)的一個極值點。

2.函數極值導數求解方法[2]

(1)求導數f′(x)。

(2)令f′(x)=0，求出f′(x)=0的所有實數解。

(3)檢查f′(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值;如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值。

3.三次函數極值導數求解的具體過程

已知f(x)=ax+bx+cx+d(a≠0)，求其導數f′(x)=3ax+2bx+c(a≠0)，由于f′(x)是一個二次函數，Δ=(2b)-4×(3a)×c=4b-12ac，要求f′(x)=0的實數根，需判斷Δ與0的大小關系。以下就對Δ進行討論。

(1)當a>0時。

Ⅰ若Δ>0時，則此時f′(x)=0有兩個不同的實數根，設為x、x(x

由圖1可知x0，①

x

x>x時，f′(x)<0，③

由①②可得x為f(x)的極大值點;②③可得x為f(x)的極小值點。

Ⅱ若Δ=0時，則此時f′(x)=0有兩個相同的實數根，設為x=x，則y=f′(x)的圖像如

由圖2可知x0，

x>x時，f′(x)>0，

由此可得f(x)無極值點。

Ⅲ若Δ<0時，則此時f′(x)=0沒有實數根，所以無極值點。

(2)當a<0時。

Ⅰ若Δ>時，則此時f′(x)=0有兩個不同的實數根，設為x、x(x

由圖3可知x

x0，⑤

x>x時，f′(x)<0，⑥

由④⑤可得x為f(x)的極小值點;⑤⑥可得x為f(x)的極大值點。

Ⅱ若Δ=0時，則此時f′(x)=0有兩個相同的實數根，設為x=x，則y=f′(x)的圖像如

由圖4可知x

x>x時，f′(x)<0，由此可得f(x)無極值點。

Ⅲ若Δ=0時，則此時f′(x)=0沒有實數根，所以無極值點。

4.結論

由(1)(2)討論的過程可得如下結論:

對于f(x)=ax+bx+cx+d(a≠0)求其極值點，先求其導函數f′(x)=3ax+2bx+c(a≠0)，判斷f′(x)的判別式Δ=4b-12ac與0的大小關系。

(1)當Δ>0時，函數f(x)有兩個極值點，要求出具體的極值點，只需求出f′(x)=0的兩個不同的實數根，當a>0時，較小的實數根為f(x)的極大值點，較大的實數根為f(x)的極小值點;當a<0時，較小的實數根為f(x)的極小值點，較大的實數根為f(x)的極大值點。

Ⅱ當Δ≤0時，函數f(x)無極值點。

5.應用舉例

例1:求f(x)=x-6x+9x-10的極值。

解:f(x)′=3x-12x+9，Δ=(-12)-4×3×9=36>0，

則f′(x)=0的兩實數根為x=1、x=3，

由于a=1>0，則x=1為f(x)的極大值點，極大值為f(1)=-6;x=3為f(x)極小值點，極小值為f(3)=-10。

例2:求f(x)=x-3x+3x+5的極值。

解:f′(x)=3x-6x+3，Δ=(-6)-4×3×3=0，

則f(x)無極值點。

例3:求f(x)=x-4x+6x+5的極值。

解:f′(x)=3x-8x+6，Δ=(-8)-4×3×6=-8<0，

則f(x)無極值點。

參考文獻:

[1]郭益民.三次函數極值的初等求法[J].中學數學月刊，2007，(1).

[2]武澤濤.高中數學速記速查[M].西安:陜西科學技術出版社，2009，(2):266.