由一道習題引發的討論

一、案例背景

我班有個學生，是校競賽班的學生，他平時愛鉆研，喜歡動腦筋。某日，我上了九年級下冊第三章第二節《三角形的內切圓》這節課;第二天，他來找我，神秘地說:“老師，我做了課內練習第1題:已知正三角形的邊長為6cm，求它的內切圓和外接圓的半徑。(答案:內切圓和外接圓的半徑分別為cm和2cm)發現等邊三角形的外接圓和內切圓的圓心相同，等邊三角形的外接圓的半徑是內切圓半徑的2倍;而作業里第6題:已知一塊等腰三角形鋼板的底邊長為60cm，腰長為50cm，(1)求能從這塊鋼板上截得的最大圓的半徑;(答案:最大圓的半徑即內切圓為15cm)(2)用一個圓完全覆蓋這塊鋼板，這個圓的最小半徑是多少?(答案:這個圓的最小半徑即外接圓的半徑31.5cm)(3)求這個等腰三角形鋼板的內心與外心的距離。(答案:6.25cm)發現等腰三角形的外接圓和內切圓的圓心在一條線上，等腰三角形的外接圓的半徑大于內切圓的2倍。這兩個結論對嗎?能證明嗎?”我看著他天真又帶著渴望的臉，抿著嘴瞇著眼淺笑，有些神秘:“喲，不可小覷呵!這么能發現問題啊!”本想立即對這個問題作出正面回答，突然我腦子里一閃:何不如此……于是，我一本正經、賣著關子地對他說:“對這個問題老師一下子也說不好，既然你覺得你的結論可能是對的，老師相信你能夠有辦法證明你發現的結論，不如我們下次上競賽輔導課的時候，大家共同探討一下三角形的有關外接圓的半徑和內切圓的半徑問題，你順便通知競賽班的其他同學，讓他們也參與這個問題的探討。”

二、案例描述

幾天后，競賽輔導課如期而至。

師:同學們，幾天前布置給你們的探討三角形上的外接圓半徑與內切圓的半徑關系的任務進行得怎么樣?

眾生:我們已經有結果了:三角形上的外接圓半徑R大于等于內切圓的半徑r的2倍!

師:喲!了不起呵!這么討巧，一不小心同學們個個都變成小歐拉呢!歐拉可是歷史上最偉大的數學家之一!剛才同學們說的結論就是著名的歐拉不等式:若三角形的外接圓的半徑為R，內切圓的半徑為r，則R≥2r。

學生的臉上洋溢著滿意的微笑。

師:同學們想到用什么方法證明它了嗎?

遲疑了一會兒，學生代表(生1)將大家的想法和方案提出來。

生1:我們有兩個方案，方案1:利用平面幾何知識證明;方案2:建立直角坐標系，利用平面解析幾何知識，通過計算直線的交點的坐標，算出R和r的表達式而證之;但“方案1”不知從何下手，還沒有找出正確的證明方法。方案2:我們建立了直角坐標，標出了三角形各頂點的坐標，然后根據頂點的坐標，利用平面解析幾何知識，通過計算直線的交點的坐標，計算出三角形的外接圓的半徑R和內切圓的半徑r的表達式，可是，R、r的表達式過于繁瑣，難以比較大小，所以還是未能證出“R≥2r”。老師，你能夠給我們提示一下嗎?

望著學生期待的目光，我心中竊喜。

在探究活動中，我讓學生展示解決數學問題的思維過程，并發現學生思維障礙所在之處，是教學的切入口、突破口，也是激發學生強烈的求知欲望的源泉，它能夠激發學生思維的積極性，誘發學生的求知欲望，對培養學生的分析問題、解決問題的能力起著非常重要的作用。

師:同學們，你們能夠從不同角度考慮問題，雖然問題沒有得到解決，但想法還是不錯的。

學生個個自信地微笑著。

師:你們用了幾種常規的數學思想方法解決此問題時，都遇到了困難，說明此問題比較困難，那么你們不會將此問題簡單化嗎?!難道你們沒有想到當初是如何發現問題的嗎?

聽我這么一講，學生的探索愿望重新被點燃，個個躍躍欲試，馬上開始自主嘗試，不一會兒，便有學生想到問題的最特殊的情況(三角形是等邊三角形)，命題成立，站起來回答出這種情況的答案。

生2:當三角形是等邊三角形時，內心、外心、重心、垂心四心合一，由重心定理即得R=2r，命題成立。

師:哇，精彩!這你也能發現?你真是太聰明了!

生2滿臉紅光，激動萬分。

師:那么當三角形△ABC是等腰三角形時，命題成立嗎?

我把畫有圖(1)第一張幻燈片用幻燈機放出來。這時，學生個個激情昂揚，并不時地議論、爭辯。學生議論紛紛:有的說用三角形相似證明;有的說用射影定理證明;有的說用三角函數知識證明等。學生踴躍思考，各述己見、互不相讓;整個課堂氣氛達到高潮。最后大家經過熱烈的討論、認真分析、演算之后得出當三角形△ABC是等腰三角形的證明情況，由學生代表(生3)回答。

師:哈哈，你們太聰明、能干了!Very good，Very good!當三角形△ABC是等腰三角形時的情況證明做得很精彩。

這時學生的臉上洋溢著勝利的微笑，他們個個滿臉紅光，眼中閃爍著智慧的光芒。

師:但是，當三角形△ABC是等腰三角形的情況還是它的特殊情況，它的一般情況即當三角形△ABC是不等邊三角形時，還有待同學們繼續努力證明出來。

這時，我將畫有圖(2)的第二張幻燈片用幻燈機放出來。學生努力、積極地思考著……

過了一會兒，學生還想不出什么。于是我就提醒學生用第一步已證的結論。

師:當三角形△ABC是等腰三角形時命題已經成立，你們能否將它用來證明現在的結論呢?

于是我在第二張幻燈片上加上圖(3)。然而學生還是想不出來如何將三角形△ABC與三角形△A″BC連起來考慮。于是，我在第二張幻燈片上加上圖(4)、圖(5)。這一下，學生都看清楚了，紛紛舉手發言，講出證明過程。

生4:在圖(4)中，等腰△ABC與三角形△A′BC的面積相等，但△ABC的周長比三角形△A′BC的周長長，因而△ABC的內切圓的半徑比三角形△A′BC的內切圓的半徑小，所以△ABC的內切圓的半徑小于△A′BC的外接圓的半徑的一半;在圖(5)中，△A′BC的外接圓的半徑小于△A″BC的外接圓的半徑，△ABC與△A″BC共圓，它們的外接圓的半徑一樣，因此△ABC的內切圓的半徑小于△ABC的外接圓的半徑的一半，命題得證。

生5:在圖(5)中，∠A″BC>∠ABC，所以∠A″BC的平分線與底邊上的高的交點(內心)在∠ABC的平分線與底邊上的高的交點(內心)的上方，因而△ABC的內切圓的半徑小于△A″BC的內切圓的半徑，因此，△ABC的內切圓的半徑小于△ABC的外接圓的半徑的一半，即△ABC的內切圓的半徑小于△A″BC的外接圓的半徑的一半，命題得證。

師:你們實在太厲害了!如果你們早生幾百年，個個都會是小歐拉。

我接著在第二張幻燈片上加上解題過程，將它放映出來。

證明:設:等腰△A″BC與等腰△ABC的外接圓的半徑為R(它們共圓)，內切圓的半徑分別為r″、r，△ABC的面積為S，周長為C，△A′BC的外接圓的半徑為R′，內切圓的半徑分別為r′，面積為S′，周長為C′。

∵△ABC與△A′BC等高同底，

∴S=S′。

∵2S=Cr=AB+AC+BC，2S′=C′r′=A′B+A′C+BC。

A′B+A′C

∴r

∵2r′

∴2r

∵△A′BC在圓內，

∴R′

∴2r

在學生出現思維障礙之后，我加以正確的引導。幫助學生分析問題，克服學生思維障礙，找出解決問題的方法，是教學成功的關鍵，是我們的天職，也是我們教學的主要目的之一。

在學生看清楚第二步的解答之后，我要求學生做好解題小結。

師:剛才同學們將這么難的問題都能解答出來，真了不起，做得很好!不過，老師要問一下你們:從證明歐拉不等式的過程中，給你們感觸最深的是什么?你們從中得到那些啟發?

學生經過一番思考之后，紛紛發表自己的意見:

(1)常用的一般的數學方法和技能不是打開數學問題的萬能鑰匙。有時從特殊的視覺入手，往往會起到意想不到的效果，解決問題事半功倍，這就是數學的奇妙所在。

(2)從問題的特殊情況開始考慮，然后推廣到一般情況，再將一般情況在轉化到特殊情況進行考慮。

(3)在解決問題過程中，我體驗了發現、探索、創造的樂趣，嘗試了豐收的喜悅，增強了學好數學的信心，為自己以后的學習和工作打下良好的基礎。我想這正是我們學習數學的真正的目的。

……

在學生發表感想之后，我對學生的意見進行總結。

師:(1)本堂課主要講述當問題用常規的方法，難以找到問題解決的突破口的時候，我們可以另辟蹊徑先從它的特殊情況入手，然后將它推廣到一般情況，即用“一般—特殊—一般”數學思想方法來處理問題往往能給我們帶來意料之外的驚喜。

(2)本堂課的講述過程中，還牽涉到很多的知識點和數學思想方法，如平面幾何中的相似三角形的知識，三角函數的定義，三角形面積公式，數形結合、分類、化歸等數學思想方法，這些知識和數學思想方法在以后的分析問題和解決問題過程中還要經常用到，望大家以后加強訓練，鞏固好這些知識。

反思回顧是思維的深化階段，教師要引導學生對問題的解答進行反思，使學生對自身認知活動有清晰意識，使他們從整個的解題過程中學到一些分析問題、解決問題的數學思想方法和解題技巧，同時使學生在解決問題中學會學習、學會探索、學會創造、體驗數學思想方法并最終掌握數學思想方法問題，為學生以后的學習和工作打下基礎。

三、案例的延續

學生學了一種數學思想方法之后，還要將它鞏固好，并最終成為自己的數學思想方法，這是我們教學的最終目的。當學生解決了一個問題后，并不意味著問題的結束，而應該是另一個問題的開始。于是我向學生提出新的問題。

師:(1)三角形的重心、內心、外心、垂心有哪些性質?你們把它們找出來并加以證明。

(2)我們平時碰到問題中，有沒有用“一般—特殊—一般”數學思想方法解決的問題，如果有的話，請同學們將它整理出來并加以解決，這就是我們今天的作業。

四、案例隨想

在這次探究活動中，我僅僅為學生提供了探究的課題和場所，全由學生自主發現課題的結論、并求證結論。只在學生解決問題、展示思維過程中，發現他們的思維障礙，加以正確的引導。大部分時間里都是學生在主動探索，學生時而沉思，時而爭辯，有過挫折，更有探索后的恍然大悟，他們自主地探究，攻克了一個個難題，并最終走到了勝利的彼岸。他們雖然發過愣、皺過眉、紅過臉，而最終他們都露出了甜美的笑容。在整個學習過程中，學生情理交融，全身心投入，把課堂氣氛推向一個又一個高潮，體驗了一次又一次成功，而“成功的甜美的笑”又鼓舞著學生學習的信心，讓學生真正成為了學習的主人。因此，我想:新時代的學生都具有很好的探究精神，他們能在自主學習中發現問題。教師應該大膽放手讓他們去探究，要善于抓住學生的探究欲望，以教材內容為基礎，多開展研究性、拓展型的數學課，讓學生在探索、研究，再現知識的發現過程中，激發他們的學習興趣和動機，產生探索、解決問題的愿望。這樣有助于學生形成遷移能力，有利于培養學生創造態度和創造思維，可以使學生學會探究問題的方法，形成一套探索、解決問題的思維模式，從而讓學生掌握更多、更新的知識，以適應社會發展的需要。只有這樣，師生才能共同釋放生命的活力，閃爍睿智的光芒，飛揚自主的個性。

參考文獻:

[1]黃新民.初中數學課堂創新教學理論與實踐.