淺談二次函數(shù)的應(yīng)用

一、 進(jìn)一步深入理解函數(shù)概念

高中階段是在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射，接著重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念，主要是用映射觀點(diǎn)來(lái)闡明函數(shù)，這時(shí)就可以用學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是二次函數(shù)為例來(lái)加以更深地認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念。

二次函數(shù)是從一個(gè)集合A(定義域)到集合B(值域)上的映射f:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)與集合A的元素X對(duì)應(yīng)，記為f(x)= ax2+ bx+c(a≠0)，這里ax2+bx+c表示對(duì)應(yīng)法則，又表示定義域中的元素X在值域中的像，從而使學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念有一個(gè)較明確的認(rèn)識(shí)，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號(hào)后，可以讓學(xué)生進(jìn)一步處理如下問(wèn)題:

例1已知f(x)= 2x2+x+3，求f(x+1)

這里不能把f(x+1)理解為x=x+1時(shí)的函數(shù)值，只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值。

例2設(shè)f(x+1)=x2-4x+1，求f(x)

這個(gè)問(wèn)題理解為，已知對(duì)應(yīng)法，則f下定義域中的元素x+1的像是x2-4x+1，求定義域中元素X的像，其本質(zhì)是求對(duì)應(yīng)法則。

一般有兩種方法:

(1)把所給表達(dá)式表示成x+1的多項(xiàng)式。

f(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6，再用x代x+1得

f(x)=x2-6x+6。

(2) 變量代換:它的適應(yīng)性強(qiáng)，對(duì)一般函數(shù)都可適用。

令t=x+1，則x=t-1。∴(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6，從而f(x)= x2-6x+6。

二、 二次函數(shù)的單調(diào)性，最值與圖像

在高中階段學(xué)習(xí)單調(diào)性時(shí)，必須讓學(xué)生對(duì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間(-∞，-]及[-，+∞) 上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進(jìn)行嚴(yán)格的論證，使它建立在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上，與此同時(shí)，進(jìn)一步充分利用函數(shù)圖像的直觀性，給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生逐步自覺(jué)地利用圖像學(xué)習(xí)二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性。

例3畫(huà)出下列函數(shù)的圖像，并通過(guò)圖像研究其單調(diào)性。

(1)y=x2+2|x-1|-1。

(2)y=|x2-1|。

(3)= x2+2|x|-1。

這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系。掌握把含有絕對(duì)值記號(hào)的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫(huà)出其圖像。

例3:設(shè)f(x)=x2-2x-1在區(qū)間[t，t+1]上的最小值是g(t)，求g(t)并畫(huà)出 y=g(t)的圖像。

解:f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2，在x=1時(shí)取最小值-2。

當(dāng)1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g(t)=-2。

當(dāng)t>1時(shí)，g(t)=f(t)=t2-2t-1。

當(dāng)t<0時(shí)，g(t)=f(t+1)=t2-2。

g(t)=t-2， (t<0)-2，(0≤t≤1)t-2t-1，(t>1)。

首先要使學(xué)生弄清楚題意，一般地，一個(gè)二次函數(shù)在實(shí)數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當(dāng)定義域發(fā)生變化時(shí)，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識(shí)，可以再給學(xué)生補(bǔ)充一些練習(xí)。

如:y=3x2-5x+6(-3≤x≤-1)，求該函數(shù)的值域。

三、 二次函數(shù)的知識(shí)，可以準(zhǔn)確反映學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

例4設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)方程f(x)-x=0的兩個(gè)根x1，x2滿足0

(1)當(dāng)X∈(0，x1)時(shí)，證明X

(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=x0對(duì)稱，證明x0< 。

解題思路:

本題要證明的是x

(1)先證明x

因?yàn)?0，又a>0，因此f(x) >0，即f(x)-x>0，至此，證得x

根據(jù)韋達(dá)定理，有x1x2=，∵ 0

c=ax1x2f(0)，所以當(dāng)x∈(0，x1)時(shí)f(x)

即x

(2)∵f(x)=ax2+bx+c=a(x+-)2+(c-)，(a>0)

函數(shù)f(x)的圖像的對(duì)稱軸為直線x=- ，且是唯一的一條對(duì)稱軸，因此，依題意，得x0=-，因?yàn)閤1，x2是二次方程ax2+(b-1)x+c=0的根，根據(jù)違達(dá)定理得，x1+x2=

-，∵x2-<0，

∴x0=-=(x1+x2-)<，即x0=。

二次函數(shù)，它有豐富的內(nèi)涵和外延。作為最基本的冪函數(shù)，可以以它為代表來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，可以編擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

(浦江縣浦江中學(xué))