變破產下限雙poisson風險模型的破產概率

摘 要:研究了雙poisson風險模型在假定變破產下限時的破產概率，得出破產概率所滿足的不等式，當破產下限f(t)為線性函數時，破產概率所滿足的不等式或解析式。

關鍵詞:雙poisson風險模型;破產下限;破產概率

中圖分類號:F22

文獻標識碼:A

文章編號:1672-3198(2010)05-0154-01

1 引言

在經典的風險模型中，保險公司按照單位時間常數速率取得保單(假定每張保單的保險費相同).但在實際生活中，不同單位時間內所收取的保單數往往不一樣，是一個服從某一離散分布的隨機變量。根據實際情形，可將經典的風險模型推廣到雙poisson風險模型。

定義 設u≥0，c>0在給定概率空間(，F，P)上:

(1)Y=YK:k=1，2，3，…是取值于(0，∞)內的獨立同分布隨機變量;

(2)參數分別為α>0，β>0的poisson過程M=M(t):t≥0和N=N(t):t≥0;

(3)Y、M和N相互獨立，

令

R1(t)=u+cM(t)-∑N(t)k=1Yk，t≥0

則稱過程R1(t):t≥0為雙poisson風險模型.其中u表示保險公司的初始資本，c表示每張保單的保險費，M(t)表示保險公司在(0，t)時間內收到的保單總數，N(t):t≥0表示理賠到達過程，Yi表示第i次理賠量，R1(t)表示保險公司在時刻t的盈余。

在實際保險業務中，保險公司不會到破產盈余為零時才調整政策或宣布破產，當盈余低于某一限度時，就調整政策，稱這一限度為破產下限，假定破產下限為時間t的函數，記為f(t)，一般情況f(t)≥0。

則可以定義新模型:

R(t)=u+cM(t)-∑N(t)k=1Yk-f(t)(1)

其中Tu=inft|R(t)<0為破產時刻，ψ(u)=PTu<∞為破產概率.

令

S(t)=cM(t)-∑N(t)k=1Yk-f(t)

假定E[S(t)]>0(為了保證保險公司的穩定經營)。

令

h(r)=∫∞0erydF(y)-1，Ft=Fst∶t≥0，

Fst=σs(w):w≤t。

2 預備引理

引理1

Mu(t)=exp-ru+S(t)exprf(t)+αt(e-cr-1)+βth(r))為Ft鞅，

證明

Eexp-rS(t))

=Eexp-r((cM(t)-∑N(t)k=1Yk-f(t))

=exprf(t)#8226;Eexp-rcM(t)#8226;Eexpr∑N(t)k=1Yk

=exprf(t)#8226;expαt(e-cr-1)#8226;expβth(r)

=exp{rf(t)+at(e-cr-1)+βth(r)}

對w≤t，

E[Mu(t)|Fws]

=Eexp-r(u+S(t))exprf(t)+αt(e-cr-1)+βth(r)Fws

=Eexp-r(u+S(w))exprf(w)+aw(e-cr-1)+βwh(r)#8226;

[JP2]exp-r(S(t)-S(w))expr(f(t)-f(w)+α(t-w)(e-cr-1)+λ(t-w)h(r)

|Fws=Mu(w)

3 主要結果

定理1 破產概率滿足不等式:

ψ(u)≤e-ru#8226;H(r)

其中H(r)=supt≥0exprf(t)+αt(e-cr-1)+βth(r)

證明 設t0<∞為一常數，由于Tu是破產時刻，則Tu∧t0為有界停時，由鞅停時定理可得:

expru=Mu(0)=EMu(Tu∧t0)

=EMu(Tu∧t0)|Tu≤t0pTu≤t0+

EMu(Tu∧t0)|TR>t0pTu>t0

≥EMu(Tu∧t0)|Tu≤t0pTu≤t0

=EMu(Tu)|Tu≤t0pTu≤t0

(2)

則

pTu≤t0≤

exp-ruEMu(Tu)|Tu≤t0

因

EMu(Tu)|Tu≤t0≥

Eexp-rf(Tu)+αTu(e-cr-1)+βTuh(r)|Tu≤t0

≥

inf0

則

pTu≤t0=e-rusup0

兩邊取期望且令t0→∞得:ψ(u)≤e-ru#8226;H(r).

定理2 在模型(1)中，當f(t)=a+b(t)，a、b為常數時，

(a)破產概率滿足不等式

ψ(u)≤e-R(u-a)

其中R為rb+α(e-cr-1)+βh(r)=0的正解;

(b)破產概率滿足

ψ(u)=e-R(u-a)Ee-R(u-a+S(Tu))|Tu<∞

其中S(t)=cM(t)-bt-∑N(t)k=1Yk，R為rb+α(e-cr-1)+βh(r)=0的正解。

證明(a)當f(t)=a+bt時，模型(1)可寫為:

R(t)=(u-α)+cM(t)-bt-∑N(t)k=1Yk

證明過程類似定理1

(b)在(2)式中令r=R，

e-R(u-a)=

Ee-R(u-a+S(Tu))|Tu≤t0pTu≤t0+

Ee-R(u-a+S(t0))Tu>t0pTu>t0(3)

以IA表示集合A的示性函數有

0≤Ee-R(u-a+S(t0))|Tu>t0pTu>t0

=Ee-R(u-a+S(t0))ITu>t0

≤Ee-R(u-a+S(t0))Iu-a+S(t0)≥0

因0≤e-R(u-a+S(t0))Iu-a+S(t0)≥0≤1，且當t0→∞時，u-a+S(t0)→∞，

由控制收斂定理得

limt0→∞Ee-R(u-a+S(t0))|Tu>t0pTu>t0=0

在(3)式兩端令t0→∞得

ψ(u)=e-R(u-a)Ee-R(u-a+S(Tu))|Tu<∞