通過設計切換律實現對切換HNN的鎮定

摘 要:隨著智能控制的快速發展，切換系統引起高度重視。我們試圖將HNN引入到的切換系統中。首先，我們建立了一個切換HNN(Hopfield Neural Networks)的數學模型，其中以HNN作為子系統。第二，這種系統，并非所有組成子系統被認為是穩定的，對于決定切換律的一些有效條件，被證明是來保證切換HNN穩定被推導出來。最后，算例證明我們的推導。

關鍵詞:HNN;穩定;切換

中圖分類號:TP

文獻標識碼:A

文章編號:1672-3198(2010)07-0278-02

1 實際模型和前提條件

在實際情況下，神經網絡模型設計的目的只有一個，那就是實現系統的全局穩定考慮用以下動力系統方程來描述一個HNN模型:

dui(t)dt=-diui(t)+∑nj=1bij×g′j(uj(t-ζ))+Ii，其中，i=1，2，3，…，n(1)

其中n是在神經網絡的神經元數目，ui(t)表示的i-th神經網絡在t時刻的函數，g′j(uj(t))表示j-th神經元在時間t的狀態函數，連續的bij相加表示持續連接的權重，di是一個積極的常數。Ii是外部輸入或者偏移。我們假設狀態函數g′j(uj(t-ζ)) i=1，2，3…….，n.，是Lipschitz連續。那么我們可以得到:

u(t)=-Du(t)+Bg(u(t-ζ))+I(2)

其中u(t)=(u1(t)，u2(t)，…，un(t))T∈Rn是一種與神經元相關的狀態向量，D>0是一個積極的對角矩陣，B∈Rn×n是一個互連矩陣，g′(x(.))=(g′1(x(.))，g′2(x(.))，…，g′n(x(.))T是神經狀態向量函數，I=(I1，I2，…，In)是恒定外部輸入或偏差矢量。

我們注意到，Lipschitz連續，可以允許g′(u(t))不是單調有界或可微，因為當g′(u(t))有界的時候，通過Schauder不動點定理，它可以很容易地證明神經網絡公式(1)至少有一個平衡點。假設存在一個平衡點u*=(u*1，u*2，…，u*n)T在神經網絡中，讓xj(t)=uj(t)-u*j，然后系統(2)可以改寫成:

x(t)=-Dx(t)+Bg(x(t-ζ))(3)

其中g(x(.))=(g1(x(.))，g2(x(.))，…，gn(x(.)))T和gi(xi(.)+u*i)-g′i(u*i)時，假設原點0=(0，0，…，0)T是系統(3)唯一的平衡點。那么切換HNN可以被描述成:

x(t)=∑ni=1ai-D(i)x(t)+B(i)g(x(t-ζ))(4)

其中∑Ni=1，ai=1，i=1，2，…，N。簡單起見，我們選擇N=2。

2 主要結果

為了證明理論，我們在本文中提出了一些假設。

假設1:存在一個正對角矩陣l+=diag(l+i，l+2，…，l+n)>0，任何一個 滿足gj(.)|gj(x(.))|≤l+j|xj(.)|

對于所有的x(.)∈R，存在一個正l≤l+，那么g(x(.))=lx(.)

假設2:對矩陣M(i)定義Yi=y|y是M(i)的特征向量，對應負實部特征值Rr是Y1∪Y2的一個基，換句話說就是θ(i)(i=1，2，)向量可以選擇Yi，Yi可以被指為yij∈Yi(j=1，2，…，θ(i))使得∑2i=1θ(i)=r(5)

span(y1，1，…，y1，θ(1)，y2，1，…，y2，θ(2))=Rr(6)

從假設1，我們得到

x(t)=∑2i=1ai(-D(i)x(t)+B(i)lx(t-ζ))=∑2i=1ai((-D(i)+B(i)le-ζt)x(t)(7)

我們將M(i)=-D(i)+B(i)le-ζt設置成對稱矩陣，這說明假設2中的M12(1)=M21(1)，M(12)(2)=M21(2)，我們可以設置M11(1)，M22(2)為負定的，很明顯，存在兩個正定矩陣P(1)和P(2)，這里我們可以得到:

MT11(1)P(1)+P(1)M11(1)P(1)=-I(8)

MT22(2)P(2)+P(2)M22(2)P(2)=-I(9)

定理1:認為當N=2的時候切換HNN滿足假設1、2，這里存在一個切換律使得系統(4)漸近穩定。如果:

(2λmax(P(1))‖M11(2)‖+(λmax(P(1))+λmax(P(2)))‖M12(2)‖×(2λmax(P(2))‖M22(1)‖+(λmax(P(2))+λmax(P(1)))‖M12(1)‖<(1-(λmax(P(1))+λmax(P(2)))‖M12(1)‖)×(1-(λmax(P(1))+λmax(P(2)))‖M12(2)‖)

(10)

其中(λmax(P(1))+λmax(P(2)))‖M12(1)‖<1(11)

λmax(P(1))+λmax(P(2)))‖M12(1)‖)<1(12)

我們得到

2λmax(P(1))‖M11(2)‖+λmax(P(1))+λmax(P(2)))‖M12(2)‖1-(λmax(P(1))+λmax(P(2)))‖M12(1)‖+2λmax(P(1))‖M11(2)‖+(λmax(P(1))+λmax(P(2)))‖M12(2)‖(13)

因此我們可以選擇一個正a，那么

2λmax(P(1))‖M11(2)‖+λmax(P(1))+λmax(P(2)))‖M12(2)‖1-(λmax(P(1))+λmax(P(2)))‖M12(1)‖+2λmax(P(1))‖M11(2)‖+(λmax(P(1))+λmax(P(2)))‖M12(2)‖

<1-(λmax(P(1))+λmax(P(2)))‖M12(2)‖2λmax(P(1))‖M22(1)‖+λmax(P(2))‖M12(1)‖+1-λmax(P(1))+λmax(P(2)))‖M12(2)‖(14)

為了證明該系統(4)是漸近穩定，我們定義Lyapunov函數

V(x(t)，t)=V(x1(t)，1)+V(x2(t)，2)(15)

其中V(x1(t)，1)=xT1(t)P(1)x1(t)，

V(x2(t)，2)=xT2(t)P(2)x2(t)，

我們能得到

V1(x1(t)，1)=V(x1(t)，1)x1(t)((aM11(1)+(1-a)M11(2))x1+(aM12(1)+(1-a)M12(2))x2)=a(P1x1(t)+xT1(t)P1)M11(1)x1(t)+V(x1(t)，1)x1(t)((1-a)M11(2)x1+(aM12(1))x1+(1-a)M12(1)+(1-a)M12(2))x2=axT1(t)(PT1+P1)M11(1)x1(t)+V(x1(t)，1)x1(t)((1-a)M11(2)x1+(aM12(1)+(1-a)M12(2))x2)=axT1(t)(MT11(1)P1+P1M11(1))x1(t)+V(x1(t)，1)x1(t)((1-a)M11(2)x1+(aM12(1)+(1-a)M12(2))x2<-a‖x1(t)‖2+a‖V(x1(t)，1)x1(t)‖‖M12(1)‖‖x1(t)‖‖x2(t)‖+(1-a)‖M11(2)‖‖V(x1(t)，1)x1(t)‖‖x1(t)‖2+‖V(x1(t)，1)x1(t)‖‖M12(2)‖‖x1(t)‖‖x2(t)‖≤(a(-1+λmax(P(1)))‖M12(1)‖+2(1-a)λmax(P(1))‖M11(2)‖+(λmax(P(1))‖M12(2)‖)‖x1(t)‖2+(aλmax(P(1))‖M12(1)‖+(1-a)λmax(P(1))‖M12(2)‖)‖x2(t)‖2 (16)

同時，我們還可以得到:

V2(x2(t)，2)≤(aλmax(P(2))‖M12(1)‖+(1-a)λmax(P(2))‖M12(2)‖)‖x1(t)‖2(17)

所以有

V(x(t)，2)<‖x1(t)‖2(a(-1+λmax(P(1))‖M12(1)‖+λmax(P(2)))‖M12(1)‖)+(1-a)(‖M11(2)‖2λmax(P(1))+λmax(P(2)))‖M12(2)‖))+‖x2(t)‖2(a(λmax(P(1))‖M12(1)‖+λmax(P(2))‖M12(1)‖+2λmax(P(2)))‖M22(2)‖)+(1-a)(λmax(P(2))‖M12(2)‖-1+λmax(P(1)))‖M12(2)‖))=‖x1(t)‖2(-a(1-λmax(P(1))‖M12(1)‖+λmax(P(2)))‖M12(1)‖))+(1-a)((λmax(P(1))+λmax(P(2))‖M12(2)‖+2λmax(P(1)))‖M11(2)‖))+‖x1(t)‖2(a((λmax(P(1))+λmax(P(2))‖M12(1)‖+2λmax(P(2)))‖M22(2)‖)=(a-1)(1-(λmax(P(1))+λmax(P(2)))‖M12(1)‖))<0

因此，切換HNN(4)在下面的切換率下是漸近穩定的:

-a1(1-(λmax(P(1))+λmax(P(2))‖M12(1)‖+α2((λmax(P(1))+λmax(P(2))‖M12(2)‖+2λmax(P(1)))‖M11(2)‖)<0;(19)

α1((λmax(P(1))+λmax(P(2))‖M12(1)‖+2λmax(P(2)))‖M22(1)‖

-a2(1-λmax(P(1))+λmax(P(2))‖M12(1)‖<0;(20)

其中a1=a，a2=1-a

3 一個設計實例

在本節中，我們將呈獻一個簡單例子來演示上述結果。讓N=2，考慮一下切換HNN，其中gi(xi(t-ζ))≡2eζtxi(t-ζ)，且Bg(x(t-ζ))E-ζt≡2Bx(t)

B(1)=20-0.101.5-0.1-0.1-0.11，

B(2)=100.101-0.10.1-0.12

D(1)=500050000，D(2)=100010004.5

M11(1)=-100-2，M12(1)=MT12(2)=0.2-0.2，M22(2)=(-0.5)。

我們得到P(1)=0.5000.25，P(2)=(1)，

(λmax(P(1))+λmax(P(2)))‖M12(1)‖<0，(λmax(P(1))+λmax(P(2))‖M12(2)‖<1)，

我們可以選擇0.1919

參考文獻

[1]Zeng，Z.G.，Wang， J.， Liao， X.X.: Improved Conditions for Global Exponential Stability of Recurrent Neural Network with Time-varying Delays. IEEE Trans on Neural Networks，2006:623-635.