向量在立體幾何中的應用

[摘要] 高中數學教材進行了改革，增加了向量的內容，這為高中學生對立體幾何知識的學習提供了一個代數化的方法。學生學習了空間向量的方法之后，可以采用他們比較熟悉的代數方法來進行立體幾何的運算和證明;能夠幫助學生更加牢固地掌握幾何圖形的性質;同時，可提高學生利用數學知識解決問題的能力以及豐富思維結構。

[關鍵詞] 高中數學 向量 立體幾何

高中數學的教材改革，把直線的方向向量和平面的法向量引入了教學。這一改革，為立體幾何中的空間問題的解決，提供了非常實用和方便的解題工具。運用“形到形”的學習方法去完成綜合推理立體幾何習題，對大部分學生們來說不能輕松地掌握。向量的運算方法與代數的運算方法十分相似。學習了向量方法后，學生就可以使用其比較熟知的代數推理運算方法，來分析空間圖形的問題。

一、空間向量在解立體幾何問題中的優勢

立體幾何是一門研究空間幾何圖形的數學學科，它主要依據一些公理和概念，借助各種幾何圖形的不同變換，利用邏輯推理對空間圖形的性質進行研究。在運用圖形的不同變換對垂直、平行、距離、夾角等空間圖形中的問題進行處理時，需要很強的技巧性，難度比較大，學生們很難找到準確的切入點。在學習立體幾何時利用向量的方法會有十分顯著的效果。

向量的知識在高中階段有著十分重要的價值和地位，它在解決立體幾何問題時具有其傳統的幾何知識以及方法無法替代的優勢。在解決立體幾何問題中遇到的很多具有較大難度的問題，運用向量的有關知識進行簡單的公式變形，就可以輕松地解決。空間向量的知識為學習立體幾何中遇到的使用傳統的純幾何方法比較費時費力，同時有著很強的隨機性的問題，提供了比較便捷簡單的常用方法，可以大大地降低解題的復雜程度。這為高中學生對立體幾何的學習注入了新的活力。

例如，如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點M、N分別是AB、CD的中點.

(1)求證:MN⊥AB，MN⊥CD;(2)求MN的長;

(2)求異面直線AN與CM夾角的余弦值.

利用空間向量方法的解題過程為:

通過這道例題的解題分析可以發現，使用空間向量的方法求角，能夠避免根據定義求角的方法必須添加大量的輔助線，找到所求的角這一解題難點。利用空間向量的方法，只需建立規范的直角坐標系，設出幾個對應的向量單位，然后直接去求兩個向量的夾角就能簡單地解決這個問題，把題目的難度大大的降低了。

二、教學中“空間向量”內容的教學優化

在高中“空間向量”這一部分教學中，最為實用和簡單的工具，就是空間向量的坐計算，可以在教學中適當地補充些內容，讓學生充分了解到空間向量坐標運算方法在解決立體幾何問題中的作用。

(1)通過計算線線所在的兩個向量所滿足的線性關系來證明線線的平行關系。(2)通過計算兩條直線所在的兩個向量的數量積為零來證明線線的垂直關系。(3)通過計算出一條直線所在的向量與兩條相交直線所在的平面的所在的向量的數量積為零，來證明直線與平面相垂直。(4)計算一個平面的法向量。(5)通過證明直線與平面的法向量相垂直，來證明出直線與平面相平行。(6)通過證明出一個平面的法向量與另一個平面相垂直，來證明出平面與平面的平行。(7)通過計算出兩個平面的法向量其數量積為零，來證明平面與平面的垂直。(8)計算出兩條直線所在的向量形成的銳角的值，來計算出異面直線角的值。(9)斜線與平面的法向量形成的銳角同斜線與平面所成的角度能夠互余。(10)在計算直線與平面的距離、平面到平面的距離時，都可以轉化為求點到平面的距離的問題上來，運用向量的方法來解決。(11)利用向量法計算異面直線之間的距離。

雖然在教學中補充這些結論和讓學生能夠熟練地應用會耗費一定的課時，但補充的結論能夠讓學生在處理立體幾何問題迅速地發現空間向量解決題的共通性，快速簡潔地處理問題起到明顯的實際應用效果。空間向量可以把抽象的立體幾何問題轉變為代數問題，充分地運用數形結合的解題思想，把立體幾何也全部融入到高中數學的綜合運用之中。

三、向量方法在立體幾何中的應用策略

學習向量知識的重要目標，是“著重培養學生運用向量這一代數方法去處理立體幾何中的問題能力”，把立體幾何題中復雜的邏輯推理轉化成空間向量的代數運算。加強幾何與代數之間的聯系，實現立體幾何問題解題的程序化、模式化，盡量減少添加輔助線，從而把解題難度降低。

使用空間向量方法來處理立體幾何中的問題，首先，必須根據遇到的立體幾何問題的情況，采用恰當的方式，把點、線、面等問題中涉及到的所有元素利用空間向量的方法表示出來，把幾何圖形和空間向量之間的聯系建立起來。然后，利用空間向量的方法進行運算，證明出所有相對應的元素之間的關系(夾角和距離等問題)。最后，把運算的結果進行幾何意義的解釋，實現對立體圖形問題的解決。

如果幾何圖形中有較多的垂直關系，同時建立空間直角坐標系比較容易時，應該建立空間直角坐標系，利用相應的坐標把向量表示出來。如果幾何圖形中缺少垂直關系或者很難在幾何圖形上建立空間直角坐標系，可根據已知條件利用三個不在同一個平面的向量作為基向量，把空間向量利用基向量表示出來，并根據條件計算出這三個向量之間數量積和模數的關系。

使用空間向量的方法解決空間角和距離問題時，可以不建立出空間直角坐標系。根據空間向量的基本定理，選取出不在同一個平面的三個向量當作基向量。同時，為了方便向量內積的計算，所設的三個基向量的模以及三個向量之間的數量積，已知條件必須給出或者可以根據所給條件計算出。

把向量知識引入到解決立體幾何問題后，可以極大地拓寬解題思路，讓立體幾何問題的解決有規律可循。學生掌握一定的向量公式后，高中學生可以利用其很好地解決立體幾何問題。雖然在解題時會有較大的計算量，但仍然能夠減輕學生的學習負擔。向量在解決立體幾何問題中，有著極大的應用效果。

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