差商函數的性質與應用

摘要給出了差商函數的連續性與可導性，并且加以了證明。利用差函數的這些性質得出了一些與可導函數和凸函數有關的結論。并且利用此函數給出了G.Darboux定理的一個新的證明方法。

中圖分類號:O174文獻標識碼:A

設f (x)是區間I上的可導函數，c∈I定義，

c(x)稱為f (x)在區間I上的差商函數。并且有c(x)在I上是連續，而且'c(x) = f ' (x)(x∈I-{c}) ，它在解決一些數學分析問題中有非常大的作用。同時定義，

此外，這些函數與凸函數也有密切的聯系。在證明一些有關凸函數性質的問題上也有非常大的作用。

引理1函數f (x)在區間I上是可導的，對于c∈I，差商函數c(x)在區間I上是連續的，在區間I上除c點外處處可導。

證明任給x0∈I，當x0 = c時，有

(x) = = f '(c) = (c)

所以(x)，在x0 = c處是連續的;

當x0≠c時，根據簡單函數與復合函數的連續性知是連續的。所以，(x)在I上是連續的?？蓪燥@然成立。

定理1f (x)是下凸函數的充分必要條件是:c∈I有c- (x)或c+ (x)是遞增的。

證明根據下凸函數的性質當xc時，當x

<

所以是單調遞增有上界，即有一定存在，f '-(c)即存在且此函數當x≤c時是遞增的。

同理，可以證明f '+(c)也存在，若是閉區間其左端點的又導數存在右端點左導數存在。

任取x1

，由的定義可知f (x)是下凸函數。

對于任給的c，和x1

f '+(c) = f '+(x1)≤c+ (x2) = c-(x2)

由凸函數的性質可知f '-(c)≤f '+(c)，所以c-(x1)≤c-(x2)。

當x1、x2都不等于c時，根據下凸函數的性質可知遞增性顯然成立。

推論1f (x)是上凸函數的充分必要條件是:c∈I有c-(x)或c+(x)是遞減的。

定理2定義在區間I上的凸函數f (x)的導函數如果存在，那么此導函數一定是連續的。

證明x0∈I做差商函數若x0是端點值取其左導數或者右導數。

顯然，當x0不是端點時在x0點是連續的，對于任給的>0存在>0。當|x-x0|≤時，，特別地有且。

由中值定理得知存在1∈(x0 - ，x0)使得和1∈(x0 ，x0 + )，使得，而且有|f '(1) - f '(x0)|≤且|f '(2) - f '(x0)|≤。

令0 = min{|x0- 1|，|x0- 2|}，由于凸函數的導函數如果存在必單調，有當|x-x0|≤0時|f '(x)-f '(x0)|≤成立，即有f '(x)在點x0不為端點時是連續的。

若x0為端點時取或同理可證是左連續或者右連續的。

定理3對于函數在區間I上處處可導，若導數無上下界那么對于x0∈I的都兩點x1，x2∈I，且滿足 = f '(x0)。

證明因為f '(x)是無界的有x0∈I都存在兩點a，b使得 f '(a)

將函數f (x)區間[a，b]上那么f (x)在[a，b]必可導作差商函數a(x) = b(x)

同上題由連續函數的介值原理和微分中值定理可知必存在一點c，使得f '(x0) = a(c)或f '(x0) = b(c)。

又因a(c) = 或b(c) = 。

若是a(c) = ，則令x1 = c，x2 = a

若是b(c) = ，則令x1 = c，x2 = b。結論成立。

推論2若函數對于函數在區間上處處可導，若導數有界那么對于任給x0∈I且f '(x0)不是上確界或者下確界都存在兩點x1，x2∈I且滿足 = f '(x0)。

應用1(G.Darboux定理)若函數f (x)在區間[a，b]上處處可導且f '(a)

證明做差商函數a(x)，b(x)，由這兩個函數在[a，b]上連續且a(b) = b(a)，由連續函數的介值定理可知a(x)可以取到f '(a)到a(b)之間的一切取值，b(x)可以取到f '(a)到b(a)之間的一切取值。

任給c滿足f '(a)

而由微分中值定理可知存在∈(a，b)使得

f '() == a(x0)

或者f '() == b(x0)

即f '() = c成立。

注:此定理的證明方法就是利用這個簡單函數的介值性來證明導函數的介值性。大多數書上給出的證明方法都是利用導數的定義以及的和費馬定理(極值原理)來給予證明。

參考文獻

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