關于二次線性方程的幾個問題

摘要本文介紹二次線性方程的化簡，二次齊次線性方程的非零解，以及二次線性方程組的解法等問題。

關鍵詞 二次線性方程仿射變換平移變換標準形

中圖分類號:O13文獻標識碼:A

1 二次線性式的概念

形式為:aijxixj + 2ai，n+1xi + an+1，n+1的方程稱為二次線性式，其中諸aij均為常數，稱為系數;x1， x2， …， xn均為未知數，n稱為元數。只含有未知數的二次項的二次線性式aijxixj稱為齊次的，否則稱為非齊次的。

形式為:aijy2i + 2aj，n+1yj+an+1，n+1的二次線性式稱為標準形。

形式為:y2i - y2j + 2ak，n+1yk + an+1，n+1的標準形稱為規范形。

2 二次線性式的仿射變換化簡

為了化簡二次線性式，引入形式為: x = Py + d的變換，稱為仿射變換，其中x 、y均為元素為變數的列向量，P是可逆方陣，d是元素為常數的列向量。特別地，仿射變換x = y + d稱為平移變換。易知，仿射變換具有如下性質:(1)仿射變換可逆，且其逆變換也是仿射變換;(2)仿射變換可以看作是一個可逆線性變換和一個平移變換的積變換;(3)兩個仿射變換的積變換仍為仿射變換。命題1 任何一個二次線性式都可用仿射變換化為標準形(或規范形)。這個命題的證明從略。用仿射變換化簡二次線性式的主要方法類似于化簡二次型的配方法。下面舉例。

例1 用仿射變換化下列二次線性方程為規范形

4x1x2 + 8x1x3 + 8x1 + x3 - 1 = 0

解 用x2 = x1- y2代入方程，化簡后再用y2 = x1- x2代回，得

0 = 4x1x2 + 8x1x3 + 8x1 + x3 - 1

= 4x1(x1 - y2) + 8x1x3 + 8x1 + x3 - 1

= [(2x1)2 + 2(2x1)(-y2 + 2x3 +2)]x3-1

= (2x1 - y2 + 2x3 + 2)2 - (-y2 + 2x3 +2)2 + x3-1

= (x1 + x2 + 2x3 + 2)2 - (- x1 + x2 + 2x3 + 2)2 + x3-1

故規范形為z21 - z22 +z3 = 0，

其中

由上式解得所用的仿射變換

例2 描述下列方程的圖形的形狀

2xy + 2xz + z2 - 2x - 1 = 0。

解 將方程化簡，得

0 = 2xy + 2xz + z2 - 2x - 1

= (2xz + z2) + 2xy - 2x - 1

= (x + z)2 - x2 + 2xy - 2x - 1

= (x + z)2 - [x2 - 2x(y - 1)] - 1

= (x + z)2 - (x - y + 1)2 + (y - 1)2 - 1

= x12 + y12 - z12 - 1。

即其規范形為x12 + y12 - z12 - 1 = 0，

其中x1 = x + z ，y1 = y - 1，z1 = x - y + 1。

當 x1、y1、z1分別取常數值時，其規范形的圖形分別是雙曲線、雙曲線、橢圓。因此，原方程的圖形是雙曲橢圓面。

例3 設f = x2 + 2y2 + 2z2 + 2xy + 2xz + 2x + 4y，證明:f≥ - 2。

證配方，得

f = (x + y + z + 1)2 + (y - z +1)2 - 2≥-2。

3 二次線性方程的參數方程

采用配方法，可以將二次線性方程化為的含有較少參數的參數方程。

例4將二次線性方程x2 - 2xy - 2xz + 2x - 2 y - 3z + 3 = 0化為參數方程。

解 將方程配方，得

(x - y - z + 1)2 - ( y - z) 2 - z + 2 = 0。

令x - y - z + 1 = c1，y - z = c2，

則由上式得z = c12 - c22 + 2。

于是得線性方程組。

由此解得，

其中c1、c2均為參數。上式就是原方程的一種參數方程。

4 二次線性方程的概念

方程aijxixj + bixi + c = 0稱為元二次線性方程，其中aij、bi、c均為常數且aij + aji不全為零;xi均為未知數。特別地，只含二次項的二次線性方程aijxixj = 0稱為二次齊次線性方程。

如下形式的二次線性方程

aiyi2 + biyi + c = 0稱為二次線性方程的標準形。

如下形式的二次線性方程的標準形

yi2 -yi2 +biyi + c = 0稱為二次線性方程的規范形。

形如x = Py + d的列向量變換稱為仿射變換，其中P是可逆方陣，d是常列向量。特別地，x = y +d仿射變換稱為平移變換。

仿射變換具有如下性質:(1)仿射變換可逆，且其逆變換也是仿射變換;(2)仿射變換可看作一個可逆線性變換和一個平移變換的積變換;(3)兩個仿射變換的積變換仍為仿射變換;(4)仿射變換把二次線性方程變為二次線性方程;(5)每個二次線性方程都可用仿射變換化簡為標準形或規范形。證明容易，從略。用仿射變換化簡二次線性方程的方法與用可逆線性變換化簡二次型的方法類似。

例5 用仿射變換化二次線性方程

4x1x2 + 8x1x3 + 8x1 +x3 -1 = 0為規范形。

解用代入方程x2 = x1 -y2，化簡后再用代回y2 = x1 - x2，得

0 = 4x1x2 + 8x1x3 + 8x1 + x3 - 1

= 4x1(x1 - y2) + 8x1x3 + 8x1 + x3 - 1

= [(2x1)2 + 2(2x1)(-y2 + 2x3 +2)]x3-1

= (2x1 - y2 + 2x3 + 2)2 - (-y2 + 2x3 +2)2 + x3-1

= (x1 + x2 + 2x3 + 2)2 - (- x1 + x2 + 2x3 + 2)2 + x3-1，

整理，得規范形z21 - z22 +z3 - 1= 0，

其中

由上式解得所用仿射變換即其逆變換為

5 二次齊次線性方程的非零解

元二次齊次線性方程可寫為:xTAx = 0(1)

其系數矩陣A是n階實對稱方陣。如果存在n元常列向量c，使得cTAc = 0，則稱x = c是方程(1)的解。方程(1)的解全體稱為其解集。方程(1)的解x = 0稱為零解;它的其余解稱為非零解。

命題2 對于n元二次齊次線性方程(1)，設其系數矩陣A的秩為r，正慣指數為p。則(i)方程存在非零解的充要條件是:r

證 不妨用規范形來證明。只有下列四種可能的情形

①x12 +…+xp2 - x2p+1 - … - xr2 + 0x2r+1 + … + 0xn2 = 0;

②x12 +…+xp2 - x2p+1 - …xn2 = 0;

③x12 +…+ xn2 = 0;

④x12 +…+ xr2 + 0x2r+1 + … + 0xn2 = 0。

在情形①，有非零解x1 = … = xn-1 = 0，xn = 1。

在情形②，有非零解x1 = xn = 1，x2= … = xn-1 = 0。

在情形③，無非零解。故(i)成立。

(ii)中條件對應于情形④。易知其解為x1 = … = xr = 0，xr+1 = c1，…，xn = cn-r其中均為任意常數。故(ii)成立。

例6 求解二次齊次線性方程

x12 + 2x22 + x32 +2 x1x2 +2x2x3 = 0。

解 將方程配方，得(x1 + x2)2 + (x2 + x3)2 = 0，

故。

解此方程組，得通解

其中c為任意常數。這就是原方程的解。

6 二次線性方程組的解法

對于二次線性方程組，用同解變形，將其化為一元高次方程來求解。

例7 求解下列二次線性方程組

解原方程組

方程(3)(7x+2)2，然后用方程(4)代入，得

(5x2 + 15x -2)2 - (5x2 + 15x -2)(7x + 2)2 + (4x2 + 13x -3)(7x + 2)2 = 0

由上式解得x = 0，1，2，-2。

將它們分別代入方程(4)，得對應的解

y = -1，2，3，1。

故原方程組的解為

例8 求解下列二次線性方程組

解原方程組

后面這個方程組可分為下列兩個二次線性方程組

由這兩個二次線性方程組分別得解

它們也就是原方程組的解。

上面兩個例所用的解法可以推廣應用于多元高次線性方程組的求解。

參考文獻

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