離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的求法探究

【摘 要】 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的解法是一個(gè)重要內(nèi)容.離散型隨機(jī)變量在計(jì)算中和生活實(shí)際中都有著廣泛的應(yīng)用.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的解法多種多樣、靈活多變，具有一定的規(guī)律性和技巧性.本文對(duì)離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的求法技巧進(jìn)行了深入探討。

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)期望 隨機(jī)變量

Abstract ： The paper mainly discusses the solution of the discrete random variable of mathematical expectation.

1.概念與性質(zhì)[1]

1.1離散型隨機(jī)變量的概念

隨機(jī)取值的變量就是隨機(jī)變量，隨機(jī)變量分為離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量?jī)煞N，隨機(jī)變量的函數(shù)仍為隨機(jī)變量，有些隨機(jī)變量，它全部可能取到的不相同的值是有限個(gè)或可列無(wú)限多個(gè)，這種隨機(jī)變量稱為“離散型隨機(jī)變量”。

1.2數(shù)學(xué)期望的定義

它是隨機(jī)變量ξ的可能取值xi與所對(duì)應(yīng)的概率pi乘積的總和，這是一個(gè)常數(shù)，可以用來(lái)描述隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)特征，稱之為ξ的數(shù)學(xué)期望，記作Ｅξ.若離散型隨機(jī)變量ξ可能取值為ai（i=1，2，…）其分布列為pi（i=1，2，…）則

■|ai|pi＜＋∞

則稱ξ存在數(shù)學(xué)期望，并且數(shù)學(xué)期望為

Eξ=■aipi如果■|ai|pi=＋∞則稱ξ不存在數(shù)學(xué)期望。

1.2.1一維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 [2]

若ξ是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為

又g（x）是實(shí)變量x的單值函數(shù)，如果

|g（ai）|pi＜∞ 則Eg（ξ）=■g（ai）pi

1.2.2二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

若（ξ，η）是一個(gè)二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布列為pij=p（ξ=ai，η=bj），i，j=1，2，…

又g（x，y）是實(shí)變量經(jīng)，x，y的單值函數(shù)，如果■■|g（aibi）|pij＜∞

則有Eg（ξ，η）=■■g（aibi）pij

1.3隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的基本性質(zhì)

性質(zhì)1 若a≤ξ≤b ，則Eξ存在，且有a≤Eξ≤b ，特別地，若C是一個(gè)常數(shù)，則EC=C

性質(zhì)2 對(duì)任一二維離散型隨機(jī)變量（ξ，η），若Eξ，Eη存在，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)k1，k2E（k1ξ+k2η）存在且E（k1ξ+k2η）=k1Eξ+k2Eη（1）

性質(zhì)3 又若ξ，η是相互獨(dú)立的，則Eξη存在且E（ξη） =Eξ ·E η （2）

性質(zhì)1的證明是顯然的，下面證明性質(zhì)2和3.

設(shè)（ξ ，η）的聯(lián)合分布列和邊際分布列為：

p（ξ=ai，η=bj）=pij，i，j=1，2，…

p（ξ=ai）=pi，i=1，2，…

p（η=bj）=pj，j=1，2，…

由定理有

這里級(jí)數(shù)■■（k1ai+k2bj）pij絕對(duì)收斂是明顯的，所以E（k1ξ+k2η ）存在且（1）得證.仍利用定理并由獨(dú)立性有

E（ξη）=■■aibjpij=■aipi·■bipj＝Eξ ，Eη 這里級(jí)數(shù)■■aibjpij的絕對(duì)收斂也是顯然的，所以Eξ η存在且（2）式成立，性質(zhì)3得證。

性質(zhì)2和3都可以推廣到任意n維隨機(jī)變量的場(chǎng)合，當(dāng)然，就性質(zhì)3來(lái)說，要求這n維隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的。

2.離散型隨機(jī)變量的求法[3]

質(zhì)點(diǎn)在x軸上從 0 點(diǎn)作隨機(jī)游動(dòng)，若第j次往右移動(dòng)一個(gè)單位距離（令位移距離變量εj=1 ）的概率為p>0 ，左移一個(gè)單位距離 （令εj=-1 ）的概率為q>0，p+q=1，且各次游動(dòng)相到獨(dú)立，經(jīng)過 n次游動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)所處的位置為

ηn=η（n）∑ni-1εj，求η（n）的均值。

針對(duì)上題解題方法大致可以分為定義法、條件數(shù)學(xué)期望法，利用期望性質(zhì)法、母函數(shù)法等等從其中看出各種方法的利弊。

2.1定義法

定義法是一種最基本的方法，當(dāng)隨機(jī)變量是離散的，要求它的數(shù)學(xué)期望值，根據(jù)公式

E（Xn）=∑∞n=1XnPn

只需求得隨機(jī)變量取值及其分布列就可以了，該方法思路明確，但有時(shí)求分布列是不容易的，且運(yùn)算比較麻煩。

2.2條件數(shù)學(xué)期法

此方法運(yùn)用了條件數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)，即公式E（X）=E（E（X/Y）），這種方法培養(yǎng)了我們的發(fā)散性思想能力。

該方法的主要思想是當(dāng)要求一個(gè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望比較困難時(shí)，而在限定變量Y（與X有關(guān)系的量）的值y之后，計(jì)算條件期望 E（X/Y）則較為容易，因此可分兩步走；第一步借助條件分布P（x/y）和固定的y 值算得條件期望E（X/y）； 第二步再把y看作Y的值，E（X/y）看作Y=y時(shí)X取值的平均，借助Y 的分布PY（y）再求一次期望，先后兩次期望即得E（X）。

所謂發(fā)散性思想的特點(diǎn)是：行不同的方向進(jìn)行思考，多端輸出，靈活變化，思路寬廣，考慮精細(xì)，解法新穎，互相映證，它是一種重要的創(chuàng)造性思維，一題多解也是培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力的重要途徑。

2.3利用期望性質(zhì)法

這種方法抓住了事物的本質(zhì)，最大限度地簡(jiǎn)化了問題，主要是運(yùn)用數(shù)學(xué)期望性質(zhì)。

這種方法是形象思維的一個(gè)例子，非常直觀，非常形象，形象思維主要用典型化的方式進(jìn)行概括，用形象材料來(lái)思維，達(dá)到對(duì)事物本質(zhì)的理性認(rèn)識(shí)，這種方法抓住了事物的本質(zhì)，最大限度地簡(jiǎn)化了問題，主要是運(yùn)用數(shù)學(xué)期望性質(zhì)，也就是要求出一個(gè)隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望有時(shí)很困難，但有時(shí)把它分解成多個(gè)隨機(jī)變量和的形式，由和的數(shù)學(xué)期望等于數(shù)學(xué)期望的和性質(zhì)，有時(shí)非常簡(jiǎn)單，大大的簡(jiǎn)化了題目.該種方法的在物理上的直觀解釋，可以表述為：把n看作質(zhì)點(diǎn)所走過的路程，質(zhì)點(diǎn)所處的位置ηn看作質(zhì)點(diǎn)的位移，每走一個(gè)單位路程，它的位移平均值為p-q，由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)可知，n步的位移平均值應(yīng)為n（p-q）。

2.4 分解隨機(jī)變量法

對(duì)于某些隨機(jī)變量，可將其分解成幾個(gè)隨機(jī)變量之和， 分別求其數(shù)學(xué)期望，進(jìn)而由期望的性質(zhì)得所求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。

2.5母函數(shù)法

母函數(shù)法就是在已知隨機(jī)變量的取值及其分布列，可求出其母函數(shù)G（s），再由母函數(shù)的性質(zhì)G（1）=E（X），即可求出數(shù)學(xué)期望值，同樣把它推廣到求任意階原點(diǎn)矩，利用公式G（n）（1）=E[X（X-1）…（X-n+1）]，母函數(shù)法是運(yùn)用同一種思想方法，即要直接求某一量有時(shí)很困難，但我們可以繞過該路徑，走其他路徑同樣達(dá)到目的的思想用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)為關(guān)系映射反演原則（簡(jiǎn)稱為RMI原則）：給定一個(gè)含有目標(biāo)原象x的關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)S. 如果能找到一個(gè)可定映映射 φ，將s映入或映滿s*，則可以從s*通過一定的數(shù)學(xué)方法把目標(biāo)映象x*=φ（x）確定出來(lái)，從而通過反演即逆映射φ-1便可把x=φ-1（x*）確定出來(lái)，全過程包括的步驟為：關(guān)系 一 映射 一定映 一 反演 一 解得。

在這幾種解法中，思路各不相同，但結(jié)果都一樣，其中定義法是最基本的方法是人們最常想到的方法，但有時(shí)直接用定義法來(lái)求期望 比較困難，就要用條件期望、期望性質(zhì)或 原則等一系列知識(shí)來(lái)簡(jiǎn)化問題，最終達(dá)到解決問題的目的，不能到此為止，要進(jìn)一步培養(yǎng)歸納推理能力，我設(shè)想質(zhì)點(diǎn)在平面上和空間內(nèi)等情況，這

些方法仍然適用，即若質(zhì)點(diǎn)在平面上以p、q、r、s 分別向x軸正負(fù)方向和y軸正負(fù)方向獨(dú)立的隨機(jī)游動(dòng)，則n次游動(dòng)后，質(zhì)點(diǎn)所處位置均值為點(diǎn)Q=（n（p-q），n（r-s））；同理，若質(zhì)點(diǎn)在空間內(nèi)以p、q、r 、s、 u、v分別向x軸正負(fù)方向，y軸正負(fù)方向，z軸正負(fù)方向獨(dú)立地隨機(jī)游動(dòng)，則n次游動(dòng)后，質(zhì)點(diǎn)所處位置均值為Q=（n（p-q），n（r-s），n（u-v））等等，這就解決了一類問題，通過這個(gè)問題的逐步解決，使我們了解到離散型數(shù)學(xué)期望的幾種求法，這也要求我們進(jìn)一步研究連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的求法，及其它的數(shù)學(xué)特征的求法等等，這些問題有待我們進(jìn)一步探討。

2.6遞推法

對(duì)于某些隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，可以容易求得其鄰近數(shù)值的關(guān)系，進(jìn)而得出其遞推公式。

參考文獻(xiàn)：

[1]魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M]；北京：高等教育出版社.1983，89-93.

[2]龔冬保，王寧.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)典型題解法技巧[M].西安：西安交通大學(xué)出版社2000 .45-63.

[3]覃光蓮.數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法探討[J]；高等理科教育；2006年05期15-72.

[4] 唐秋晶，蔣傳鳳；數(shù)學(xué)期望的幾種求法[J]；洛陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)；2000年05期56-69.

（作者單位：大慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院）