數列在生活中的應用

【摘 要】 本文將在簡述數列廣泛應用的基礎上，具體分析數列在以上幾個生活領域中的應用情況。

【關鍵詞】 數列應用 分期付款 租賃貿易 資源利用

Abstract ： The paper mainly discusses the application of Sequence in the life.

眾所周知，數列是數學知識中的一個重要環節，以具體問題為基礎，進行答案的解析是數列學習中的一個重要部分，這就注定了數列是以解決實際問題為目的而存在的。數列在經濟生活和資源計算等領域，有著廣泛的使用，在解決投資分配、匯率計算、資源利用分配等方面問題中有著無可比擬的優勢。本文將在簡述數列廣泛應用的基礎上，具體分析數列在以上幾個生活領域中的應用情況。

1.例述數列在生活中的應用

數學不僅僅是我們生活中的工具，更大程度上是我們生活中的必需品，并影響著人們的生活。以生活中的一個常見問題為例：

在對某地超市進行統計調查后發現，每天購買甲乙兩種蔬菜的人數約為200人，且第一天購買甲種蔬菜的第二天會有20%購買乙種蔬菜，第一天購買乙種蔬菜的第二天會有30%購買甲種蔬菜，則據此推算超市應當如何安排甲乙兩種蔬菜的進貨量。

解決方案：設第n天購買甲乙兩種蔬菜的人數分別為An、Bn，則：

An+1=0.8An+0.3Bn；

Bn+1=0.2An+0.7Bn；

由于An+Bn=200，則可推算得An+1=0.8An+0.3（200-An）=60+0.5An；

則An+1-120=0.5（An-120）；

可得，{An-120}是以A1-120為首項，0.5為公比的等比數列；

假設，第一天購買甲種蔬菜的有a人，則

An=0.5^（n-1）*（a-120）+120

當n趨近于無窮時，易得，An趨近于120且與a的值無關。則可知，購買甲種蔬菜的人數穩定在120人，購買一種蔬菜的人數穩定在80人。

上述例題，以生活中常見的一類問題為原型，通過理論求解達到了解決實際問題的目的，這是數列在生活中應用的冰山一角。

2.銀行儲蓄與分期付款中的數列應用

與數字打交道的銀行金融領域是數學數列在生活中應用的最直觀體現，儲蓄與貸款與國計民生、社會生活發展息息相關，大到支援國家建設，小到個人家庭的財政支出管理，處處都嵌套著數列的應用。

在人們日常的生活規劃中，為未來進行資金儲備的零存整取的存儲模式是銀行儲蓄中常見的一種金融計算方式。下面筆者將以某一常見模式為例，進行數列在儲蓄領域應用的解析。

設儲戶每期存入銀行的金額為M，利率設為p，儲戶連續存入n期，那么到第n期期末時，本金數額為nM，在這個過程中，第一期存款利率為pMn，第二期的存款利率為PM（n-1）以此類推，到了第（n-1）期時存款利率為2pM，第n期存款利率為pM。對上述各階段的利息求和可得：

Sn=Mp+2Mp+……+Mp（n-1）+Mpn

=Mp（1+2+……+n-1+n）

=1/2n（n+1）Mp

期間，納稅金額為：1/2n（n+1）Mp*20%=1/10n（n+1）Mp

最后，實際取出金額為：nA*1/2n（n+1）Mp-1/

10n（n+1）Mp=M[n+2/5n（n+1）p]

上述應用是社會生活中廣大人民群眾最經常能夠接觸到的一種銀行金融儲蓄計算方式，是數列應用深入生活，影響生活方面的直接體現。隨著社會經濟的發展，人們的理財觀念也漸漸發生了轉變，小額貸款成為了社會生活中的一個熱門話題。人們想要清楚的了解自己的貸款在銀行的計算體系中是如何進行計算的，就需要數列的知識對其理清手中資產，合理規劃自己的社會經濟生活，人們對數列知識的理解與掌握就顯得分外的迫切，數學數列知識在生活中就受到了更加廣泛的關注。

在小額貸款的進行方式中，分期付款是最普遍的一種形式，銀行在為客戶支付全部經費之后，由客戶按照已經協定好的貸款協議按期分批的償還所欠金額，從而達到滿足自身消費需求同時減緩短期資金壓力的目的。本文中以生活中經常應用的等額本金還款法為例，簡單介紹還款過程中的金額計算方式。

假設，某客戶為購買房屋，向工商銀行貸款n萬元，采用分期還款的方式進行償還，共分m期償還完畢，每一期所償還的本金數額相同，在這個計算過程中，每一期應當償還貸款數額的計算方法為：

設每期還款x元，各期所付給的款額到貸款全部還清時不會產生利息，貸款期利率為p，則第一期應當付給本金額為n/m元，利息為np，于是：第一期總共還款金額x=n/m+np元；同理，第二期付本金n/m元，利息（n-n/m）p，第二期所償還的總金額x=n/m+（n-n/m）p=n/m+np-n/m*p元；第三次償還貸款總金額為x=n/m+np-n/m*2p元……以此類推，第m期x=n/m+np-n/m*（m-1）p元。

對上述總金額求和得：

Sn=n/m+np+n/m+np-n/m*p+n/m+np-n/m*2p……n/m+np-n/m*（m-1）p=n/m*m+np*m-

[n/m*p+n/m*2p+n/m*3p……n/m*（m-1）p]

=n/m*m+np*m-n/m*p[1+2+3+……（m-1）]

=n+mnp-n（m-1）/2

另外一種較為常用的還款方式為等額本息還款法，即為：貸款n元，采用分期還款的方式進行償還，每期還款金額相同，分m期還完，則每期應當償還的總金額計算方式為：

設每期還款x元，各期所付款額到貸款全部還清時會產生利息（利息額按期以復利進行計算），每期利率為p，則首付金額為x元；第二期付本金x元，利息xp元，第二次總付款金額為x+xp元；第三期總付款金額為x（1+p）^2元……以此類推，第m期所付款總金額為x（1+p）^（m-1），各項之間呈現等比數列的樣式，合計付款金額為：x+x（1+p）+x（1+p）^2+……+x（1+p）^（m-1）=n（1+p）^m

經整理得：x[1+（1+p）+（1+p）^2+……+（1+p）^（m-1）]=n（1+p）^m 易得x=np（1+p）^m/[（1+p）^m-1]

則總還款金額為mx=mnp（1+p）^m/[（1+p）^m-1]

此兩種分期付款的方式，各有相應的優缺點。經過上面的分析容易得到對于同樣的貸款利率，同樣的借款金額與相同的償還次數，等額本金的還款方式與等額本息的還款方式相比，總利息要少，所以總體而言，等額本金的還款方式較為節省資金，但是此種還款方式在還貸初期，每期的還款金額相對于等額本息的還款方式較高，在初期的還款壓力較大，對于收入穩定且月收入較高的人群較為適合；而等額本息還款方式的月還款額是固定不變的，從資金時間效益的角度講，其價值穩步下降，而等額本金的還款方式由于在初期的還款金額較多，所以對于靠資金投資進行收益的人群來講不太合適。綜上分析，對于家庭小額貸款，如果是收入較為穩定的工薪家庭，應盡量采取等額本金的還款方式；如若是收入主要靠資金投資的投資人士，則應當盡量采用等額本息的還款方式，既能夠緩解貸款初期的資金壓力又能夠很好的利用手中的資金創造更大的價值。

參考文獻：

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[3]林志偉.數列在分期付款中應用的教學初探[M].內蒙古：內蒙古師范大學學報，2007.

（作者單位：大慶師范學院 數學科學學院）