淺談生活中的等差數(shù)列與等比數(shù)列

在實際生活和經(jīng)濟活動中，很多問題都與數(shù)列密切相關(guān)。如分期付款、個人投資理財以及人口問題、資源問題等都可運用所學(xué)數(shù)列知識進行分析，從而予以解決。數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)。這是對數(shù)學(xué)與生活關(guān)系的精彩描述。也許很多人都不是很在意數(shù)學(xué)知識在生活中的應(yīng)用，在這里我簡單談下生活中的等差數(shù)列與等比數(shù)列。

等差數(shù)列，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示。等差數(shù)列的通項公式為：an=a1+（n-1）d （1）前n項和公式為：Sn=na1+n（n-1）d/2或Sn=n（a1+an）/2 （2） 以上n均屬于正整數(shù)。

數(shù)學(xué)問題看似抽象，實際上與生活息息相關(guān)。而樓梯與等差數(shù)列有關(guān)。樓梯每一級與地面的高度依次成等差數(shù)列。假設(shè)一座樓房的每一級與地面的高度依次成等差級（即n=20），第一級與地面的高度h1（即h1=160mm），第二級與地面的高度為h2（即h2=320mm），……第二十級與地面的高度為h20（即h20=3200mm）。而踏步高度=d=160mm（即每一級的踏步高度都相等），H=h20=3200mm，h1=d。

這樣設(shè)計的樓梯有什么好處呢？那就是它能使來來往往的人感覺最舒適。它能使上下樓梯的人（特別是下樓梯的人）不容易摔倒，同時也可以讓盲人順利地上下樓梯。

等比數(shù)列，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

（1）等比數(shù)列的通項公式是：An=A1*q^（n－1）

若通項公式變形為an=a1/q*q^n（n∈N*），當q＞0時，則可把an看作自變量n的函數(shù)，點（n，an）是曲線y=a1/q*q^x上的一群孤立的點。

（2）求和公式：Sn=nA1（q=1）

Sn=A1（1-q^n）/（1-q）

=（a1-a1q^n）/（1-q）

=a1/（1-q）-a1/（1-q）*q^n （ 即A-Aq^n）

（前提：q不等于 1）

任意兩項am，an的關(guān)系為an=am·q^（n-m）

（3）從等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1，2，…，n}

（4）等比中項：aq·ap=ar*2，ar則為ap，aq等比中項。

記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=（an）2n-1，π2n+1=（an+1）2n+1

另外，一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列各項取同底數(shù)后構(gòu)成一個等差數(shù)列；反之，以任一個正數(shù)C為底，用一個等差數(shù)列的各項做指數(shù)構(gòu)造冪Can，則是等比數(shù)列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。

數(shù)列知識有著廣泛的應(yīng)用，特別是等差數(shù)列和等比數(shù)列，在科學(xué)技術(shù)和日常工作中會經(jīng)常遇到，例如，銀行中的利總計算，計算單利時用等差數(shù)列，計算復(fù)利時用等比數(shù)列，分期付款要綜合運用等差數(shù)列與等比數(shù)列的知識。著名的馬爾薩斯人口論，把把糧食增長比喻為等差數(shù)列，而把人口增長比喻為等比數(shù)列，這些科學(xué)事實和生活實例，都有助于我們認識和理解數(shù)列知識。

主要是銀行儲蓄借貸的問題，像“零存整取問題”、“整存整取問題”、“分期付款問題”還有就是“細胞分裂”。

隨著中央推行積極的財政政策，購置房地產(chǎn)按揭貨款（公積金貸款）制度的推出，極大地刺激了人們的消費欲望，擴大了內(nèi)需，有效地拉動了經(jīng)濟增長。

眾所周知，按揭貨款（公積金貸款）中都實行按月等額還本付息。這個等額數(shù)是如何得來的，此外若干月后，還應(yīng)歸還銀行多少本金，這些人們往往很難做到心中有數(shù)。下面就來尋求這一問題的解決辦法。

若貸款數(shù)額a0元，貸款月利率為p，還款方式每月等額還本付息a元.設(shè)第n月還款后的本金為an，那么有：

a1=a0（1+p）-a，

a2=a1（1+p）-a，

a3=a2（1+p）-a， ......

an+1=an（1+p）-a，.........................（*）

將（*）變形，得 （an+1-a/p）/（an-a/p）=1+p.

由此可見，{an-a/p}是一個以a1-a/p為首項，1+p為公比的等比數(shù)列。日常生活中一切有關(guān)按揭貨款的問題，均可根據(jù)此式計算。

數(shù)列知識除在個人投資理財方面有較為廣泛的應(yīng)用外，在企業(yè)經(jīng)營管理上也是不可或缺的。一定做過大量的應(yīng)用題吧！雖然這些應(yīng)用題是從實際生活中抽象出的略高于生活的問題，但他們是數(shù)學(xué)習(xí)題中最能反映數(shù)學(xué)知識與實際生活密切關(guān)系的一類問題。因此，解答應(yīng)用問題有助于我們對數(shù)學(xué)在日常生活中廣泛應(yīng)用的理解和認識。

（作者單位：大慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院）