數列在銀行儲蓄中的應用

【摘 要】 數列計算靈活多變，數列又廣泛應用在現代化經濟生活中，與我們的生活息息相關，運用數列知識和方法解決增長率、利潤、利率等問題是一類主要的實際應用問題，本文舉例介紹數列在實際生活中的應用。

【關鍵詞】 數列 銀行儲蓄 利息

Abstract ： The paper mainly discusses the application of sequence in bank savings.

在日常生活中，我們每個人都要與銀行打交道. 比如，某人存入銀行現金100 元，年利率為10 %（按單利計） ，經過3 年后一次性取出本利和為130 元. 此處的130 元是如何計算出來的？ 后面將詳細介紹. 首先介紹幾個基本概念：在上例中， 100 元叫本金， 指存款帳戶上現有的金額；3 年叫期數，每期可為年、月、日；130元叫本利和（或終值） ， 指過n 期后， 最終結算出的本金與利息之和的金額； 10 叫利率， 指一定時間內利息同本金的比率，利率由國家制定，按時間長短不同，有年利率、月利率和日利率。 計算利息時，按計息方式不同，有單利計息和復利計息兩種， 單利計息指每期都按初始本金計算利息， 當期利息不計入下期本金， 計算基礎不變， 復利計息指當期利息納入下期本金，即以當期本利和為計息基礎， 計算下期利息。

1.單利和復利計息方式下， 利息與本利和的計算公式

1.1單利計算公式

設一筆資金的本金為p 元， 每期利率為i ，若按單利計算利息，則利息值與本利和F 可按期數排成下面的數列：

第1 期末 利息 p·i ， 本利和F1 = p（1+i） ；

第2 期末 利息 p·2i ， 本利和F2 =p（1+2i）；

第3 期末 利息 p·3i ，本利和F3 =p（1+3i） ；

… … …

第n 期末 利息 p·ni ，本利和Fn=p（1+ni）.

不難看出，單利的利息數列與本利和數列都是等差數列，公差都為pi .

其中 利息的通項公式為In= p·i·n ，

本利和的通項公式為Fn= p（1 + ni） .

1.2復利計算公式

設一筆資金的本金為p 元，每期的利率為i ，按復利計算利息，則利息值與本利和F 可按期數排成下面數列：

第1 期末 利息 p·i ， 本利和F1 = p（1+i） ；

第2 期末 利息 p （1 + i） ·i， 本利和F2= p（1+i）2 ；

第3 期末 利息 p（1 + i）2 ·i， 本利和F3= p（1+i）3 ；

… … …

第n 期末 利息 p（1 + i）n-1 ·i ， 本利和Fn =p（1+i）n .

不難看出，復利的利息數列與本利和數列都是等比數列，公比都為（1 + i）

其中 利息的通項公式為In= p（1+i）n-1 ·i ，

本利和的通項公式為Fn = p（1+i）n .

2.三種常見的儲蓄方式

2.1活期儲蓄

指存期不變， 可以隨時存取的一種儲蓄，若存入日期不足1 年， 以具體天數計算利息，規定每年按360 天，每月按30 天計算存期。

例1 某人存入銀行現金2000 元，年利率為5 %（按單利計） . 存入日期為8 月12 日， 到期日為11 月10 日（共90 天） . 則該人到期可得利息多少？ 本利和多少？

解：根據單利計息方式下的利息公式與本利和公式，得

利息 I = 2000×5 %■ = 25 （元） ，

本利和F = 2000 （1 + 5 %×■ ） = 2025（元） .

2.2整存整取定期儲蓄

指一次存入本金，完成約定存期后一次取出本金及其利息的一種儲蓄。

例2 若存100 元現金， 年利率按復利9 %計，計算5 年后的本利和為多少？

解：根據復利計息方式下的本利和公式，得

F = 100（1+9%）5≈153186 （元） .

2.3零存整取儲蓄

前面討論的活期儲蓄和整存整取定期儲蓄都屬于一次性存入，經過一段時間后再相應地一次性支取的款項. 而零存整取儲蓄屬于分

期多次存入， 到期一次支取的款項，其中每期間隔時間相同且每期存入的金額相等的款項稱為年金。

如果每期的年金為p 元， 利率為i，共n期，那么n期的本利和總額叫做年金終值. 按照計息方式分別為單利和復利，叫做單利年金終值和復利年金終值.在年金終值的計算中，年金存在每期期末（如每期最后一天） 和每期期初（如每期第一天） 是有區別的，兩者的付款次數相同， 都是n 次. 但由于付款時間不同， 在期初存入年金比在期末存入年金要多計算一期利息.舉例說明。

例3 年初某人計劃每月底存入銀行100元，月息為01165 % ， 分別按單利和復利計息，到年底時年金終值是多少？

解：此人每月底存款， 到年底的本利和終值數列為：

（1） 按單利計算

第1 月存款終值為Q1= 100 （1 + 11× 0.165 %）；

第2 月存款終值為Q2= 100 （1 + 10×0.165 %）；

…

第12 月存款終值為Q12= 100 （1 + 0 ×0.165 %） .

數列， …， 是公差d = 0.165 ， 項數n = 12 ，首項 a1=Q12= 100 的等差數列， 由等差數列的前n 項和公式可得年底的年金終值為

F =■Qi= ■ [ 100 + 100 （ 1 + 11×0.165 %） ] = 1210.89 （元） .

（2） 按復利計算

第1 月存款終值為Q1= 100（1+0.165%）11 ，

第2 月存款終值為Q2= 100（1+0.165%）10，

…

第12 月存款終值為Q1２= 100（1+0.165%）０

數列Q1２…，Q2 ， Q１， 是公比q = 1 + 0.165 %= 1.00165 ， 項數n = 12 ， 首項a1=Q12= 100的等比數列，由等比數列的前n 項和公式可得年底的年金終值為

F =■Qi =■ = 1210.95 （元） .

結束語

除了上面討論的數列在生活中兩方面的應用外，數列在生活中其他應用還有許多. 這是一個基礎課與專業課結合，為專業課服務的有益嘗試， 對于學生加強基礎課學習、提高解決實際問題能力有很大的幫助. 同時隨著人類的不斷進步，知識的不斷擴展和更新，將會有越來越多好的方法以供我們學習和研究. 我們只有在以后的工作學習中，善加利用已有的知識，并繼續探索，以求更新的方法.

參考文獻：

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[4]高玉鳳. 數列的應用[M].山東?。荷綎|出版公司， 2002，86-102.

（作者單位：大慶師范學院 數學科學學院）