基于單鏈接聚類過濾法的均值方差模型

摘 要：為了消除由于估計收益率數據的時間序列的有限性而導致馬克威茨均值-方差模型的統計不確定性，采用基于單鏈接聚類過濾法的均值-方差修正模型。選取上證50成分股2004~2007年的日數據，對修正前后的模型進行了實證對比分析發現：（1）修正后模型投資組合的可靠性系數比修正前模型的平均低0.067；（2）修正后模型投資組合估計風險和預測風險分別比修正前模型投資組合平均低0.096和3.329；（3）修正前模型投資組合的有效大小比修正后模型投資組合小0.0321，表明其風險分散程度更低。這在某種程度上表明：修正后模型要優于修正前模型的投資組合。

關鍵詞：單鏈接聚類法；均值-方差模型；正定性

中圖分類號：F830.9 文獻標識碼：A 文章編號：1003-5192(2011)01-0066-05

Mean-variance Based on Filtered Single Linkage Cluster

HUANG Fei-xue

(Faculty of Management and Economics， Dalian University of Technology， Dalian 116024， China)

Abstract:Due to the finite length of the asset return time series， the estimation of the Markowitz’s mean-variance portfolio model unavoidably associated with a statistical uncertainty. So we use the single linkage cluster algorithm to filter the correlation coefficient matrix to avoid this. Then we choose the daily data from 2004 to 2007 of the 50 stocks composing the SSE 50 index to compare the new and the original solution of portfolio optimization and find that: (1)the average reliability of the portfolio composed by the new method is 0.067 higher than that of the portfolio composed by the original method; (2)the realized risk and the predicted risk of the portfolio composed by the new method are respectively 0.1 and 3.3 lower than that of the portfolio composed by the original method; (3)the effective size of the portfolio composed by the new method is 0.0321 smaller than that of the portfolio composed by the original method， which proves the new one can better disperse the risk. So we draw a conclusion that the application of the single linkage cluster algorithm can improve the mean-variance Model.

Key words:single linkage cluster algorithm; mean-variance model; positive definiteness

1 引言

Markowitz提出的均值-方差投資決策模型解決了持有一定資本的投資者如何在證券市場眾多證券品種中做出合理選擇的問題，該模型將證券收益率看成隨機變量，用收益率的方差來度量風險。然而，模型中相關系數的估計由于收益率時間序列的有限，會存在一定的統計上的不確定性，進而導致模型估計的失敗。針對這一缺陷，本文采用單鏈接聚類法對相關系數矩陣進行過濾，從而消除這種不確定性。

Markowitz提出了均值-方差投資決策模型［1，2］，但該模型是在假設市場無摩擦條件下的雙目標規劃模型，它與現實市場存在較大的差距。如何將經典的均值-方差模型進行改進和優化，使其更符合現實市場的特點，眾多的學者對此進行了深入的研究：Sharpe在研究了市場均衡時的證券價格行為，提出了最優組合模型的簡化形式，并導出了資本資產定價模型，這大大降低了計算難度［3］。Rothschild和Stiglitz分析了一般效用函數下的最優證券組合、風險測度和證券收益特征［4，5］。Merton在擴散矩陣正定而且允許賣空的假設下解決了單期均值-方差投資組合問題［6］，接著Merton提出了資產定價模型［7］。Levy等研究了不同投資期限對證券組合和資產定價的影響［8］。但上述研究忽略了證券投資組合中相關系數矩陣的作用。相關系數矩陣的估計不可避免的與一些統計上的不確定性相聯系，所謂統計不確定性是指由于采樣不充分或判斷方面的誤差而引起的不確定性。Markowitz假定收益率的均值μ已知，而實際上μ并不知道，而只能用樣本均值來進行估計，但是根據具體的組合不同，收益率的概率分布也會不同，況且由于時間序列數據的有限性，概率分布的估計會存在統計上的不確定性。而相關系數矩陣的計算正是基于收益率的概率已知固定的情況下計算得出的，所以相關系數矩陣存在著統計的不確定性。

近來，有一些研究在這些減小統計上的不確定性方面做出了一定的貢獻，如Mehta提出了隨機矩陣理論（Random Matrix Theory， RMT）［9］，近期被應用到了證券投資組合理論當中，即通過RMT方法得到的相關系數矩陣。Burda等利用SP500的數據研究隨機矩陣與協方差矩陣的關系，認為SP500數據得到的協方差矩陣的穩定性是符合隨機列維矩陣理論的［10］。然而，這些關于運用隨機矩陣的研究并未指出變換后用于運算的協方差矩陣是正定的。屠新曙等認為關于均值-方差模型的爭議焦點就在于協方差矩陣的正定性［11］。Tumminello等證明當有單鏈接的聚類過程獲得的超度量相關矩陣的所有元素都是正的時，相關系數矩陣由單鏈接聚類過程得到的相關矩陣是正定的［12］。國內一些學者也對均值-方差模型進行了研究與改進：劉仁和等從機會成本角度論述了均值方差模型的適用性［13］；林旭東等在正態分布為假設條件的建立了均值-CVaR模型［14］；閆偉等提出了基于風險價值約束的動態均值-方差投資組合模型［15］；熊和平等證明了在單期收益率較小時，投資期限的長短對最優投資組合選擇沒有影響［16］；遲國泰等建立了“均值-方差-偏度”的三因素套期保值優化模型［17］；張鵬等提出了限制性賣空的均值-方差投資組合優化模型［18］。但上述研究大都僅考慮了投資組合中單個證券風險的大小，而忽略了這些證券收益之間的相互關系。

本文提出通過采用單鏈接聚類法對相關系數矩陣進行過濾，使其變為超度量矩陣，進而消除統計上的不確定性。選取上證50成分股2004~2007年的日數據，對原始均值-方差模型與改進后的模型進行了實證比較分析。

2 方法和過程

2.1 馬柯維茨最優資產組合理論

當γ=0時，最優投資組合是最小方差投資組合。

這個均值-方差模型分別建立原始的投資組合和經過單鏈接聚類法過濾了相關系數矩陣的投資組合。

2.2 相關系數矩陣的單鏈接聚類分析過濾算法

聚類分析是在沒有先驗知識的情況下，利用樣本在多維空間的相對位置將樣本分成多個不同類組的方法。單鏈接法是一種層次聚類方法，該方法首先將距離最近的樣本歸入一類，即合并的前兩個樣本是它們之間有最小距離和最大相似性；然后計算新類和單個樣本間的距離作為單個樣本和類中的樣本間的最小距離，尚未合并的樣本間的距離并未改變。在每一步，兩類之間的距離是它們兩個最近點間的距離。

由于單鏈接法每次并類后都是將該類與其他類中距離最近的兩個樣本之間的距離作為該類與其他類的距離，所以此聚類方法的逐次并類距離之間的差距一般來說可能會越來越小。但是只要單個樣本之間的相異度小，就認為兩個組就是緊密靠攏的，而不管組間其他樣本的相異度如何。這傾向于合并由一系列本身位置(原始數據集中樣本的排列)靠近的樣本。

當有單鏈接的聚類過程獲得的超度量相關矩陣的所有元素都是正的時，相關系數矩陣由單鏈接聚類過程得到的相關矩陣是正定的。這種情況在股票投資組合中的財務數據中是很常見的。本文提出應用某種聚類分析方法對均值-方差模型中的相關系數矩陣進行過濾，然后利用這一矩陣代替原始矩陣進行模型的求解。因為聚類分析能夠過濾多個變量的數據的相關信息，并且前人已證明，聚類分析能夠很好地消除因為樣本區間有限而產生的估計誤差，尤其是系統聚類分析在處理分層組織的數據時，這方面的表現十分突出。

2.3 投資組合的指標評價體系

（2）風險大小

用來比較不同方法的量僅僅是估計的風險P。顯然當一個投資組合的估計的風險小于另一個時，它的風險較小。一般來說，一個預測的風險小的投資組合不一定比一個（預期）風險大的組合好。事實上，如果安全投資組合的估計的風險的不確定性大的話，投資者會面臨大的波動，并且，會認為預測的風險比估計的風險小的組合比估計的風險比預測的風險小的組合風險更小。

（3）有效性

用來衡量投資組合優化方法的量是投資組合有效集的減小幅度。處理一個大的投資組合是成本很大的，因為投資者想重新變動資產比重時是要花費交易成本的。即使不考慮資產重置與基準問題，希望能計算有效的有大量現金投資的股票數量。令N(eff)表示投資組合的有效大小，根據Bouchaud and Potters［19］，計算這一數值如（9）式所示

（4）投資表現

投資表現是說應用構建的投資組合在實際中應用后的其風險和收益的大小。用實際的數據估計了投資組合模型中的風險和收益，進而構建一個投資組合，這個投資組合在估計的時間范圍內是最優的，即同樣的收益率條件下風險最小，同樣的風險條件下收益最大。而在別的時期這一投資組合的風險和收益的大小也是我們所關注的，這也是衡量投資組合優劣的一個指標，即在別的時間范圍內能否同樣的收益率條件下風險最小，同樣的風險條件下收益最大。

3 實證結果的比較分析

3.1 數據選取與預處理

研究目的是為了應用單鏈接聚類過濾法在投資組合優化理論中，即運用該方法構建一個投資組合，為使研究樣本具有充分性、代表性，選取上證50指數的成分股這50只股票。特別要指出的一點是，上證50指數從2004年提出以來，每半年按照不超過10％的比例調整一次成分股，但是因為研究需要一個比較長的區間，所以選用的研究樣本只是2004上半年的上證50指數成分股，不隨它的調整而改變。

在實證分析部分要對構建投資組合并對其進行評價，按照馬克威茨的假設，需要知道證券的基本信息，故應用2004~2007這四年中的前兩年來收集信息，即算出這50只股票的期望收益率和方差、協方差等數據；而后兩年，即2006年和2007年則作為投資年份，也就是說，由2004、2005兩年的數據構建一個投資組合，利用這一組合在2006、2007兩年進行投資，然后評價已構建的組合。

3.2 修正模型前后的評估比較

所謂的新方法就是應用單鏈接聚類法對相關系數矩陣進行過濾后，應用新的相關系數矩陣代替原有的進行均值方差模型的計算，得出持股比例，根據（3）式。而舊方法是指原始的馬克威茨均值-方差模型。

3.2.1 可靠性

為了評估組合的可靠性，首先要知道這一組合的估計的風險和預測的風險。根據（3）式兩種方法構建的投資組合的持股比例，并根據（7）式2004~2005年的這50只股票的協方差矩陣計算出估計的風險。實證結果表明在收益率相同的條件下，可以得出經過聚類分析構建的投資組合的風險要小于馬克威茨方法構建的投資組合。

根據（2）式，為了評估修正后的單鏈接聚類過濾法和修正前的模型構建的投資組合的可靠性。希望R的值越小越好，因為估計風險和預測的風險相差較小才能表明模型的預測精度較高。通過計算知道，單鏈接法構建的投資組合的可靠性更高一些。馬克威茨法投資組合的R值比單鏈接法的平均高7.597％；這說明單鏈接法聚類分析構建的投資組合的可靠性較高。

3.2.2 風險

一個投資組合僅僅預期收益率很高是不夠的，還需要具有較低的風險。本模型中，是在給定預期收益率來計算投資組合的，從實證結果可以看出，運用單鏈接法聚類分析構建的投資組合無論是估計的風險還是預測的風險都明顯小于馬克威茨方法構建的投資組合，估計風險方面，單鏈接法投資組合要比馬克威茨法投資組合平均低0.096，相當于后者的46.556％；預測的風險方面，單鏈接法投資組合要比馬克威茨法投資組合平均低3.329，相當于后者的78.273％。所以，預期收益率一定的條件下，單鏈接法投資組合比馬克威茨法投資組合的風險要小，并且應用過聚類分析的投資組合的風險要比未使用的風險小很多，這體現了單鏈接聚類分析在證券投資組合理論中應用的價值。

3.2.3 有效大小

投資組合的有效大小就是用來衡量投資組合的減小幅度，投資組合當所有財富都投資于一種資產時上式等于1，而當平均地投資于N種資產，即wi=1/N時，計算結果等于N。關注投資組合的減小幅度是希望能通過改變持股比例來盡量減少投資組合有效大小，因為在實際應用中，交易費用是不可忽視的，它不僅會影響投資的凈收益，在交易成本較大時，投資者也很有可能因此選擇非最佳的投資組合，也就是需要一個動態調整過程。基于這些因素，投資組合的有效大小也成為評價投資組合優劣的一個重要指標。另外，建立投資組合的目的也是為了分散風險，有效的大小較小的話，說明風險分散的程度不高，也就是說，該組合是比較有風險的。

本文計算了二種投資組合的有效大小，由實證可知，修正后的模型投資組合的有效大小較大，而修正前的模型投資組合的有效大小較小。修正前的模型比修正后的模型投資組合小0.0321，表明其風險分散程度更低。因此，修正前的模型構建的投資組合更大地減小了投資組合的幅度，而修正后的模型投資組合更好地分散了投資風險。

3.2.4 投資表現

由實證結果可得同樣是經過2004~2005年的數據構建的投資組合，修正后的模型投資組合的收益率在0.175~0.275之間，風險在0.400~0.500之間；而修正前的模型投資組合的收益率在0.364~0.378之間，風險在1.080~1.116之間。無論在風險還是收益方面，都是修正后的模型投資組合小于馬克威茨法投資者組合。修正前的模型投資組合的風險平均是修正后的模型投資組合的2.5倍。

4 結論

本文通過對修正前后模型的評估比較得到：

（1）單鏈接法投資組合的可靠性比馬克威茨法的高7.597％，表明運用單鏈接聚類法后建立的模型可靠性更高，即模型的預測精度更高；

（2）單鏈接法投資組合估計風險和預測風險分別比馬克威茨法投資組合平均低0.096和3.329，即運用單鏈接聚類法后在相同的收益率下能夠構建比馬克威茨法更小的投資組合；

（3）馬克威茨法投資組合的有效大小更小，風險分散程度更低;

（4）在投資表現上，兩種方法構建的投資組合分別落在不同的區間，原始馬克威茨法更適合風險偏好型投資者，應用單鏈接聚類法的投資組合更適合風險厭惡型投資者。

這在某種程度上表明：基于單鏈接聚類過濾法的均值-方差模型構建的證券投資組合在可靠性，風險和有效大小方面優于馬克威茨均值-方差模型。

參 考 文 獻：

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