物理極值問題處理的幾種數(shù)學方法

摘 要：在物理教學中要重視數(shù)理結(jié)合，重視數(shù)學知識和方法的學習、提煉，努力提高應用數(shù)學知識解決物理問題的能力。本文通過用數(shù)學方法求物理的極值問題的幾個實例，來說明在平時教學中滲透數(shù)學思想的重要性。

關(guān)鍵詞:物理；數(shù)學；極值

中國分類號： G427 文獻標識碼： A 文章編號：1992-7711（2011）03-085-02

數(shù)學對物理科學而言不僅僅是計算工具，也是物理學科的思維工具，是物理發(fā)展的根基，并且很多物理問題的解決是數(shù)學方法和物理思想巧妙結(jié)合的產(chǎn)物。不能靈活運用數(shù)學知識和方法往往成為物理和解決物理問題的一大障礙。所以在物理教學中要重視數(shù)理結(jié)合，重視數(shù)學知識和方法的學習、提煉，努力提高應用數(shù)學知識解決物理問題的能力。本文筆者通過用數(shù)學方法求物理的極值問題的幾個實例來說明平時教學中滲透數(shù)學思想的重要性。

一、用導數(shù)求極值

函數(shù)y=f(x)在x=x0處的一階導數(shù)f′(x0)=0，則函數(shù)在x0處有極值。若函數(shù)y=f(x)在x=x0處的二階導數(shù)f″(x)>0，則函數(shù)在x0處有極小值，函數(shù)y=f(x)在x=x0處的二階導數(shù)f″(x)<0，則函數(shù)在x0處有極大值。

例1：一條總長為L，質(zhì)量為m的繩子放在光滑的水平桌面上，開始時繩子一端有放在桌邊下垂，求繩子下落過程中下垂長度為多大時，轉(zhuǎn)角處繩子張力最大？最大張力是多少？

解析：設繩子下落過程中繩子的加速度為a，桌邊下垂的繩子長度為x，則剩余繩子長度為（L-x），以下垂的繩子為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律：

mgLx-T=mxLa ①

以剩余繩子為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律：

T=m(L-x)La ②，

由①②得T=mgx(L-x)L2 ③，對③中T與x函數(shù)求一次導數(shù)得：

T′=mg(L-2x)L2 ④，

令④式等于零，得x=12L，

因此當x=12L時，T有最大值，此時T=14mg。

二、用函數(shù)y=sin2αcosα求極值

y=sin2αcosα，α∈［0，π2］

則y2=sin4αcos2α

=12×2sin2αsin2αcos2α

≤12(sin2+sin2+2cos2)3

=427

因為α∈［0，π2］，cosα>0，

當sin2=2cos2α時取等號，

所以y=sin2αcosα的極大值等于239。

例2：如圖所示，一個質(zhì)量m的小球（可視為質(zhì)點）拴在細線的一端，細線另一端固定在O點，若細線長為L，把小球拉到水平位置（細線繃直）由靜止釋放，在小球運動到最低點的過程中，小球的重力瞬時功率的最大值（運動過程不計空氣阻力）。

分析：小球的重力瞬時功率P=mgvcosα，小球在運動過程中機械能守恒，可以求出小球在任意位置的瞬時速度v的大小。

解：如圖設小球在M點速度大小為v，

根據(jù)機械能守恒定律得：mgLsinα=12mv2，

則v=2gLsinα （1）;

由小球的重力瞬時功率P=mgvcosα （2）

由（1）（2）得P=mg2gLsinα#8226;cosα

且α+θ=π2，cos2αsinα=sin2θcosθ

故cos2αsinα的最大值與sin2θcosθ的最大值是相同的，

所以Pm=23mg3gL。

三、用輔助角公式求極值

asinα+bcosα=a2+b2sin(α+β)，β=arctanba

例3：如圖所示，拉力F作用在質(zhì)量為m的物體上使之做勻速運動，當拉力最小時，力與地面之間的夾角為多大。

解析：x：Fcosθ-μN=0（1）

y：Fsinθ+N-mg=0（2）

由（1）（2）得F=μmgcosθ+μsinθ

將該式做極值法處理

F=μmgcosθ+μsinθ

=μmg1+μ2(cosθ11+μ2+μ1+μ2sinθ)

令cosφ=11+μ2，

則sinφ=μ1+μ2，

代入上式得F=μmg1+μ2cos(φ-θ)

當cos(φ-θ)=1時，

即θ=φ，

即θ=arctanμ時，F(xiàn)有最小值，

Fmin=μmg1+μ2

四、用定和求積原理和定積求和原理求極值

（1）利用a+b+c≥33abc求極值

上例2中求y=2gLsinα#8226;cosα的極值

y4=(2gL)2sin2αcos4α

=(2gL)212#8226;2sin2α#8226;cos2α#8226;cos2α

因為2sin2α+cos2α+cos2α=2，

所以abc≤(a+bc3)3.

僅當a=b=c時取等號

(2sin2α+cos2α+cos2α3)3≥2sin2αcos2αcos2α

(23)3≥2sin2αcos2αcos2α

所以ymax4=(2gL)212#8226;(23)3，

所以ymax=233gL

(2)利用a>0，b>0，則a+b≥2ab且a=b時取等號

①若兩個正數(shù)a+b為定值，當a=b時，a×b之積最大（定和求積原理）。

②若兩個正數(shù)a×b為定值，當a=b時，a+b之和最小（定積求和原理）

例4：如圖所示電路中，電池的電動勢E=5 V，內(nèi)阻r=10 Ω，固定電阻R=90 Ω，R0是可變電阻。在R0由零增加到400 Ω過程中，求可變電阻R0上消耗熱功率最大的條件和最大熱功率。

解：電路中的電流為I=ER+r+R0=5100+R0，

R0上消耗的功率為P=I2R0=25R0(100+R0)2

=25(100R0+R0)2

從上式可知，P最大的條件其分母最小，

因為100R0#8226;R0=100，

所以根據(jù)定積求和原理，當100R0=R0時，

R0=100 Ω，R0上消耗功率最大Pm=25400=116 W

五、用不等式求極值

對 x≥0，y≥0，調(diào)和平均數(shù)，幾何平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)，平方平均數(shù)滿足

21x+1y≤xy

≤x+y2≤x2+y22

例5：如圖所示，A、B為等量異種電荷相距2a，電荷量分別為+Q、-Q，則它們連線上什么位置場強最小？

解：設它們的連線上P點距離A電荷為x，則P點的電場強度為E=E1+E2

=kQ(1x2+1(2a-x)2)

E=kQ(1x2+1(2a-x)2)2.

根據(jù)21x+1y≤x2+y22得

(1x2+1(2a-x)2)

=21x2+1(2a-x)22

≥2#8226;2x+(2a-x)=2a

當1x=12a-x，

則x=a時，E最小，Emin=2kQa2

六、用判別式求極值

利用二次函數(shù)求根中判別式Δ=b2-4ac≥0有解不求物理量的極值。

例6：火車以v1速度做勻速行駛，司機發(fā)現(xiàn)前方同軌道上相距s處有另一火車沿同方向以v2(v1>v2)做勻速運動，司機立即以加速度a緊急剎車，要使兩車不相撞a至少應滿足什么條件？

解析：要使兩車不相撞其位移關(guān)系就為v1t-12at2≤s+v2t，

即12at2+(v2-v1)t+s≥0

Δ=(v2-v1)2-2as≤0，

得a≥(v2-v1)22s

七、用“0”值法求極值

有些物理量如速度、加速度、力、動能等，“0”就是其最小值，解題中若能加以正確運用，會令許多運算繁瑣的問題迎刃而解，起到“四兩撥千斤”的奇效。

例7：如圖所示，光滑水平面上有一長木板，右端用細繩拴在墻上，左端上部固定一輕質(zhì)彈簧.質(zhì)量為m的鐵球以某一初速度(未知)在木板光滑的上表面向左運動并壓縮彈簧.若鐵球的速度減少為初速度的一半時，彈簧的彈性勢能等于E，此時細繩恰好被拉斷，從而木板開始向左運動，為使木板獲得的動能最大，木板的質(zhì)量為多大?并求出木板動能的最大值。

解析：細繩拉斷前，鐵球壓縮彈簧把動能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能，由題意有：

E=12mv02-12m(12v0)2=38mv02

細繩拉斷后，鐵球壓縮彈簧的過程，木板向左加速、鐵球向左減速，當彈簧恢復原長時，木板具有最大動能，此過程中鐵球與木板組成的系統(tǒng)動量與動能守恒，設木板動能最大時鐵球與木板的速度分別v1，v2，

由動量與動能守恒定律可得：m12v0=mv1+Mv2 （1）

（2）E+12m(12v0)=12mv12+12Mv22 (2)

由于（2）左邊為定值，

當右邊鐵球的動能12mv12取最小值零時，

木板的動能12Mv22有最大值，其值為：E+12m(12v0)=12Mv22;

（3）把v1=0代入（1）聯(lián)立上面式子可解得：

M=14m和Ek=12Mv22=43E

八、用作圖法求極值

利用“數(shù)”、“形”結(jié)合，采用作圖法來求極值。

例8：傾角為θ的斜面上有一個質(zhì)量為m的物塊，為了使它沿斜面勻速運動能施加的力F的最小，則F與斜面的夾角多大？

解析（略）。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文