高考創新題型及其對策例說

摘 要：本文就高考創新題進行分析，并提出相關應對之策。

關鍵詞:高考；創新題；對策；例說

中國分類號： G420 文獻標識碼： A文章編號：1992-7711（2011）03-087-02

所謂創新題型，即在教材上無例習題，教參上無套路題，往年的考卷無現成題的一類新型考題。這種題目每年由高考命題組原創設計，由于這種題型有較好的信度和效度，從而有較好的區分度，因此倍受人們關注。

一、定義運算規則型：

定義一種新的運算規則，讓學生通過對所提供文字的閱讀，弄清新運算的規則，再結合所學數學知識進行問題的解決。

（2010#8226;山東）定義平面向量之間的一種運算“⊙”如下，對任意的，a=（m，n），b=（p，q），令a⊙b=mq-np，下面說法錯誤的是（）

A.若a與b共線，則a⊙b=0

B.a⊙b=b⊙a

C.對任意的λ∈R，有(λa)⊙b=λ(a⊙a)

D.（a⊙b）2+（ab）2=|a|2|b|2

對策：我們首先要理解運算規則的含義并直接按規則進行運算，即用“代入法”進行運算，再進行檢驗.若a與b共線，則有a⊙b=mq-np=0，故A正確；因為b⊙a=pn-qm，而a⊙b=mq-np，所以有a⊙b≠b⊙a，故選項B錯誤，故選B。

二、定義概念型

數學的抽象思維來源于數學定義，新定義來源于新問題，新定義表述新內容或新數學，因此，及時定義型的題目是數學創新返樸歸真的一種，當然，高考題中的新定義并非全部來源一個真正的“數學前沿”的實際問題，而可能是某個“舊定義”的轉化，解題時只是要求考生再“轉化回去”。

（2010#8226;福建）對于平面上的點集Ω，如果連接Ω中的線段必定包含于Ω，則稱Ω為平面上的凸集，給出平面上4個點集的圖形如下（陰影區域及其邊界），其中為凸集的是（寫出所有凸集相應圖形的序號）。

對策：怎樣正確理解“對于平面上的點集Ω，如果連接Ω中任意兩點的線段必定包含于Ω，則稱Ω為平面上的凸集”是解題的關鍵，對于圖中的①②③④分別選取任意兩點進行連接，再結合凸集的定義進行判斷，不難發現答案為②③．

三、開放探究型

傳統數學題目多屬封閉型。開放題與此不同，有的有明確的條件而無明確的結論，甚至連結果存在與否還不知道，有的有明確結論而無明確的條件，甚至連條件是否存在還不知道。

（2010#8226;浙江理數）已知a是給定的實常數，設函數f(x)=(x-a)2(x+b)e2，b∈R，x=a是f(x)的一個極大值點．設x1，x2，x3是f(x)的3個極值點，問是否存在實數b，可找到x4∈R，使得x1，x2，x3，x4的某種排列xi1，xi2，xi3，xi4(其中={i1，i2，i3，i4})={1，2，3，4}依次成等差數列?若存在，求所有的b及相應的x4；若不存在，說明理由．

對策：本題的開放表現在“是否存在”、“可找到”、“某種排列”都是開放詞，此類問題一是通過嘗試列舉，二是根據待證結論，從反面入手進行證明。本題主要考查函數極值的概念、導數運算法則、導數應用及等差數列等基礎知識，同時考查推理論證能力、分類討論等綜合解題能力和創新意識。結果：存在b滿足題意，當b=-a-3時，x4=a±26.

四、背景再現型

背景通俗地可說成是試題“有來歷”，這種“有來歷”大約是指：（1）高等數學的背景；（2）經典數學的引申或廣化；（3）實用數學的某一熱點應用；（4）新課標、新內容的提前現身。

（2010#8226;上海）若實數x、y、m滿足|x-m|<|y-m|，則稱x比接近m.

已知函數f(x)的定義域D={x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}.

任取x∈D，f(x)等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個值.寫出函數f(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調性（結論不要求證明）.

對策：本題中x比y接近m的說法似曾相識，通過回憶類似題目的處理方法，找到尋求問題解決的正確途徑，結果如下：

f(x)=1+sinx，x∈(2kπ-π，2kπ)

1-sinx，x∈(2kπ，2kπ+π)=1-|sinx|，x≠kπ，k∈Z，

f(x)是偶函數，f(x)是周期函數，

最小正周期T=π，函數f(x)的最小值為0，

函數f(x)在區間［kπ-π2，kπ)單調遞增，在區間(kπ，kπ+π2］單調遞減，k∈Z．

五、圖示符號型

用新圖示，新表格，新符號陳述題設或提出問題的新題目。圖、表、符號等，它們都是數學語言，設計題目的方法是先將“自然語言”翻譯成這種“特殊語言”。解題的關鍵是要要求考生先把這種“特殊語言”再翻譯成“自然語言”。

（2010#8226;江西）如圖，一個正五角星薄片（其對稱軸與水面垂直）勻速地升出水面，記t時刻五角星露出水面部分的圖形面積為S(t)(s(0)=0)，則導函y=S′(t)數的圖像大致為

對策：通過圖形給出的一些變化趨勢，其實質是進行圖形變化趨勢比較，但要抓住主線。

最初零時刻和最后終點時刻沒有變化，導數取零，排除C；總面積一直保持增加，沒有負的改變量，排除B；考察A、D的差異在于兩肩位置的改變是否平滑，考慮到導數的意義，判斷此時面積改變為突變，產生中斷，選擇A。

六、研究學習型

研究性學習，是教學上倡導的一種自主學習。教材上安排提供有一些材料，只是作為一種思考和研究問題的要求和引導。

雖然研究的目的是明確的，但研究內容卻是發散的。高考命題時，可按研究學習的目的和要求，并考慮考生可能達到的研究能力，設計一些有關新內容的研究學習型新題。

（2010#8226;江蘇）某興趣小組要測量電視塔AE的高度H(單位m），如示意圖，垂直放置的標桿bc高度h=4 m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.

（1）該小組已經測得一組的值α，β，算得tanα=1.24，tanβ=1.20，請據此算出H的值;

（2）該小組分析若干測得的數據后，發現適當調整標桿到電視塔的距離d（單位m），

使α與β之差較大，可以提高測量精確度，若電視塔實際高度為125 m，問d為多少時，α-β最大？

對策：本小題主要考查解三角形、基本不等式、導數等基礎知識?？疾閿祵W建模能力、抽象概括能力和解決實際問題的能力。在蘇教版必修5課本第22 頁中的實習作業涉及有關測量問題。具體解法如下：

(1)由AB=Htanα，BD=htanβ，AD=Htanβ及AB+BD=AD，得

Htanα+htanβ=Htanβ，

解得H=htanαtanα-tanβ=4×1.241.24-1.20=124.

因此，算出的電視塔的高度H是124 m.

(2)題解略。

七、歸納猜想型

這是集探索、研究和開放的一種典型的試題形式，題目往往在題設中通過已知材料暗示某種數學規律，需要考生經過觀察、嘗試，分析后提出大膽的猜想，然后經過理性的判斷或推理證明確定答案，猜想可能失敗，因此解題可能出現多次失敗。于是往“最大可能處”探索信息，成為解決這類問題的最有效的途徑。

（2010#8226;湖南）若數列{an}滿足：對任意的n∈N*，只有有限個正整數m使得am

((an)*)*=

對策：歸納猜想，由特殊到一般，先由求具體的(a5)*的方法和經驗，歸納內層(an)*的通項公式，再歸納出整個((an)*)的通項公式.具體解法如下：

因為am<5，而an=n2，所以m=1，2，所以(a5)*=2

因為(a1)*=1，(a3)*=1，(a4)*=1，

(a5)*=2，(a6)*=2，(a7)*=2，(a8)*=2，(a9)*=2，

(a10)*=3，(a11)*=3，(a12)*=3，

(a13)*=3，(a14)*=3，(a15)*=3，(a16)*=3，

所以((a1)*)*=1，((a2)*)*=4，((a3)*)*=9，((a4)*)*=16，

猜想((an)*)*=n2

創新意識是理性思維的高層次表現，是一切發明創造的基礎，數學知識的“遷移、組合、融會”，是創新意識較強的表現。對數學問題的“觀察、歸納、猜測、證明”，是發現問題和解決問題的重要途徑，這就要求教師在平時的數學教學中，重視數學過程的教學，培養學生的探究、發現的能力，從而培養學生的創新意識和創新能力。

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