三角平面擬合法在GPS高程測量中的應用

摘要：本文介紹了“三角平面擬合法” 在GPS高程測量中的應用，該方法應用三角平面擬合法通過控制點的高程異常數據直接內插求得待測點的高程異常，從而求得待測點的海拔高程即正常高。較高精度地改正了GPS在測量海拔高程時的系統誤差。

關鍵詞：三角平面 擬合 GPS 測量

Applation of Triangular Plane Fitting Method In the Height Measurement with GPS

ZHAO JunZHENG QuanSONG Le-ping

Geological Survey Institute of Inner Mongolia，Hohhot，inner Mongolia 010020

Abstract:Using examples，applation of triangular plane fitting method In the Height measurement with GPS is introduced.By Interpolating ofcontrol point elevation abnormal data using triangular plane fitting method，awiting measuring points elevation abnormalities are obtained，which correct the systematic error inheight measurement with GPS.

Key words: triangular plane fitting GPS measurement

前言

隨著現代科技的迅猛發展，GPS在測量工作中得到了廣泛的應用[1，2]。GPS測量的坐標系是世界大地坐標系既WGS84坐標系，而我國使用的三維坐標系為1954年北京坐標系（或1980年西安坐標系）與1985國家高程基準，因此對GPS測量的三維定位成果必須進行換算。

由WGS84平面坐標轉換為北京54（或西安80）平面坐標的換算方法，目前較常用的是差分法和七參數轉換法。差分法是通過GPS觀測的WGS84系統下的坐標差（該坐標差通過WGS84平面坐標轉換為北京54平面坐標的七參數，轉換為北京54系統下的坐標差），代入北京54系統直接求解。

七參數轉換法至少要在三個已知的大地點上進行GPS觀測，既這些點上應同時具有WGS84坐標系和北京54坐標系（北京54平面坐標和北京54橢球高）的兩套坐標才能求取七參數，七參數轉換法具有較精確的數學模型，其主要適用于精密GPS控制測量。從理論上講，地球上的每一個點都有自己獨立的一套轉換參數，所以求取七參數的控制區域不宜過大，應視測量精度具體確定控制區域的面積。實際應用時，常將海拔高代替北京54橢球高來求取參數。北京54橢球高與海拔高之間存在著較大的差異，用海拔高解算的七參數不能用于待求點海拔高程的求取。

1. GPS測量正常高原理

測量中常用的高程系統有大地高程（簡稱大地高）和正常高程（簡稱正常高），大地高是WGS84系統下的GPS高，正常高是我國采用的高程系統。大地高是以WGS84橢球體面為基準，由地面點沿通過該點的橢球面法線到WGS84橢球體面的距離，稱之大地高。正常高是以似大地水準面為基準的高程系統，由地面點沿該點的鉛垂線至似大地水準面的距離稱為正常高[1]。

采用差分GPS測量正常高的原理是在一個已知的正常高的點上布設控制站，在另一個待測點上布設測站，利用計算得到的這兩點間的高差來求得待測點的高程。我們知道，利用GPS測得的高差實際是在WGS84系統下的高差（見圖1），WGS84系統下的高差△h1和似大地水準面系統下的高差△h2并不相等，它們之間的差決定于A、B兩點間的距離和WGS84橢球體面與似大地水準面之間的夾角。只有在WGS84橢球體面和似大地水準面平行時兩者才相等，這時就可以利用WGS84系統下的高差△h1代替似大地水準面系統下的高差△h2來求得待測點的正常高。但實際情況是WGS84橢球體面和似大地水準面并不平行，這時利用△h1代替△h2求得的高并不是正常高，還屬于大地高的范疇。這就涉及到高程轉換問題。由GPS測定的大地高轉為正常高的關鍵是如何求取大地高H（大地）與正常高H（正常）之間的差值，即我們所說的高程異常值△H，△H＝H大地-H正常（見圖2）。

推算△H值的方法很多，如GPS水準高程法與GPS重力高程法等，GPS水準高程法又包括平面擬合法、二次曲面擬合法、高次多項式曲面擬合法、樣條函數法等。GPS重力高程法則包括地球重力場模型法、重力場模型與GPS水準相結合法、地形改正方法等。

不管用哪種方法都有它的優缺點及適用條件，這要根據地形條件及擬合精度要求選擇適合的方法。下面我們介紹另一種擬合方法：三角平面擬合法。

2. 三角平面擬合法簡介

“三角平面擬合法”是進行復雜曲面擬合的一種方法。實際上，被擬合的曲面往往不能用一個簡單的高次多項式來表示，用多個不同的三角平面（如圖3，我們可以認為由3個控制點圍成的三角形區域近似為一個平面）去扣合復雜的實際曲面，就像用每個小足球瓣扣合整個足球面一樣。通過調整控制點數據網度的方法，可以提高曲面的擬合精度。

2.1自動聯結三角網

設有n個模型數據點（xi，yi，zi）（i=1，2…n），我們把zi認為是x～y平面上點坐標（xi，yi）的函數，在x～y平面上，利用（xi，yi）建立起在可能條件下的最佳三角網，這些點（xi，yi）（i=1，2…n）就是三角形網的頂點，這個條件就是在使用周圍鄰近的數據點組成三角網時，應盡可能地確保每個三角形都是銳角三角形或者避免出現過大的鈍角和過小的銳角。

聯結三角網的過程是：先確定第一個三角形，然后對其三邊進行擴展，又形成新的三角形，對各三角形的各邊進行擴展，這樣不斷下去，直到按要求聯結完畢。

任選一點作為第一個三角形的一個頂點，再選離該點最近的一點作為第二個頂點，第三個點的選擇是利用余弦定理：c2=a2+b2-2abcos(C)，找出使C角為最大的點作為第三點（這是符合最佳三角形條件的，而且也為以后擴展三角形網時避免交叉提供了有效保證，因為這樣確定的第三點，標志著它離第一、二點的距離之和為最短），這就形成了第一個三角形。

從某個三角形（例如第K個三角形）向外擴展是這樣進行的：

先考慮第一條邊P1P2，顯然位于其對頂點P3同側的點號應被排除，為此建立直線方程（符號函數）：

其中：A＝(y2-y1)/(x2-x1)

B＝(y1x2-y2x1)/(x2-x1)

(x1，y1)，(x2，y2)分別是P1點，P2點的坐標。

將各點代入F(x，y)中，可能出現的情況是F(x，y)>0， F(x，y)=0， F(x，y)<0，凡與P3點符號相同的點均被排除，從剩余的點中挑選一點作為被擴展點，條件仍是利用余弦定理，這點與P1，P2點所形成的夾角較大（如圖4中的P4點）。這樣P1P2P4三點又構成了一個新的三角形。P1P2邊擴展完后，再如上述擴展P2P3邊和P1P3邊，這個三角形三邊擴展完后再繼續做未擴展過的三角形各邊的擴展工作，直到將全部要聯的點聯結完[3]。

2.2待求結點的內插

根據最優三角形原則將模型數據點（xi，yi，zi）（i=1，2…n）組成各自不同的三角平面（三點唯一確定一個平面），該三角形圍定的所有內插點均屬于這個平面。根據待求內插點的坐標（xi，yi）（i=1，2…n），利用三角平面方程（z=ax+by+c）求得待求內插點的高程（zi，i=1，2…n）。

這里我們認為符合擬合精度要求的每個三角形區域近似為一個小平面。

3. 軟件使用流程

該方法通過“GPS高程異常改正”計算機軟件[4]實現，且在實際工作中得到應用，效果非常好。

3.1在程序對話框中輸入控制點三角模型數據（格式為橫坐標X，縱坐標Y，高程異常H），通過控制點的高程異常信息建立數據模型（xi，yi，zi）（i=1，2…n），用上述方法建立三角網文件（格式為MAPGIS線文件明碼格式），該三角網還可根據實際需要進行修改（見圖5）。

3.2在程序對話框中輸入要計算的待求點的數據文件（格式為橫坐標X，縱坐標Y），根據待求點的坐標（xi，yi）（i=1，2…n），采用三角平面內插的方法求出待求點的高程異常值，進而求出待求點的正常高（見圖6）。

4. 應用實例

在一定的工作區域內根據控制網點的高程異常（控制點上大地高與正常高的差值）數據模型信息（xi，yi，zi）（i=1，2…n），建立三角網模型，這里我們認為在符合擬合精度要求的實際欲連結的三角形區域內地形近似于平面，符合三角平面的特征。然后根據三角平面方程（z=ax+by+c）求出待求點的高程異常值（采用三角平面內插的方法），該點的大地高與高程異常的差值即為該點的正常高。

實際工作中我們以科右前旗呼和哈達敖包屯北鐵礦1:1萬重力勘查為實例說明該方法的應用效果（見圖7）。礦區大比例尺重力勘查高程的精度要求很高，并且要求高程結果為1985國家高程基準下的正常高。

在該區共做了823個重力測點，測點平面坐標采用GPS（RTK）差分原理通過北京54三角點直接求取。高程測量采用GPS（RTK）差分原理通過北京54三角點求取測點的大地高，然后使用三角平面擬合法求取測點的高程異常進而求取海拔高（正常高）。如圖6，工區東部2公里處為一北京54等級三角點，在工區數據區外圍建立了6個GPS控制點，4個三角平面擬合網，控制點的大地高從已知三角點由GPS差分經網平差后求取（高程中誤差0.025m），控制點的正常高從已知三角點利用水準閉合測量求取(水準高程中誤差0.006m)，每個控制點均有兩套高程，通過控制點高程異常(大地高與正常高的差)信息，建立三角平面擬合三角網（根據最優三角形原則），這時每個三角形區域內的高程異常曲面近似為平面，建立每個三角形的平面方程（三點唯一確定一個平面），再根據平面內差的方法確定每個三角形區域內的測點的高程異常，通過GPS測定的測點的大地高從而確定每個測點的正常高（等于該點的大地高與高程異常的差）。使用該方法時注意根據擬合精度確定三角網的稀密，且三角網覆蓋整個工作區（見表1）。

5. 結果與分析

最后我們對所做擬合點進行了水準閉合檢查，共檢查了35個點，擬合點正常高的絕對精度達±0.013m（見表2）。從擬合的結果我們可以看到，該區高程異常從-0.202m到-0.034m之間變化，且離三角點越遠高程異常越大，本區高程異常均不大，原因是工區距離控制三角點只有2公里，如果控制三角點與工區之間的距離加大，高程異常就會加大。本文提出的“三角平面擬合法”，其方法新穎、擬合精度可控，應用范圍靈活、廣泛，是值得大家借鑒的一種高精度非多項式擬合方法。

參考文獻：

[1] 張勤，李家權等.GPS測量原理及應用[M].北京:科學出版社，2005.

[2] 張正祿等.工程測量學[M].武漢:武漢大學出版社，2005.

[3] 劉文錦，侯遵澤.三角網方法繪制等值線圖及其在重力資料成圖中的應用[J].物化探計算技術，1985，7(3):211-217.

[4] 宋偉，吳建國等.中文Visual Basic 6.0編程基礎[M].北京:清華大學出版社，1999.