淺談高中數學的分類討論思想

【內容摘要】分類討論既是一種邏輯方法，又是一種重要的數學思想。高考對分類討論思想考查的一個重要目的，是檢測學生的理性思維。分類的思想是依據數學研究對象本質屬性的相同點和差異點，將數學對象分為不同種類的數學思想。

【關鍵詞】高中數學；分類討論思想；題型分析

一、對分類討論思想的基本認識

高中數學的課程內容是由具體的數學知識與數學思想方法組成的有機整體。“數學思想”是數學課程論的一個重要概念，通常認為這一思想包括方程思想、函數思想、數形結合思想、轉化思想、分類討論思想和公理化思想等。在解決數學問題時，會遇到各種不同的情況，需要對各種情況進行分類和求解，這就是分類討論思想。分類討論既是一種邏輯方法，又是一種重要的數學思想，高考對分類討論思想考查的一個重要目的，是檢測學生的理性思維。[1]

數學中的分類包括現象分類和本質分類兩種。前者是以分類對象的外部特征、外部關系為根據的，如復數分為實數與虛數等，這種分法看上去一目了然，但不能揭示所分對象之間的本質聯系；后者是按對象的本質特征、內部聯系進行分類的，如函數按單調性或有界性分類，多面體按柱、錐、臺分類等。引起分類討論的主要原因有以下五個：第一，由數學概念引起的分類討論；第二，由數學定理、性質、公式的限制條件引起的分類討論；第三，由圖形的位置和大小的不確定性而引起的分類討論；第四，對于含有參數的問題，要對參數的允許值進行全面的分類討論；第五，對于結果的不同可能進行討論。

二、分類討論在高中數學的廣泛分布

回顧和總結高中數學教材中分類討論的知識點，大致有：二次函數二次項系數正負與拋物線開口方向；直線y=kx+b的斜率k與圖像位置及函數單調性的關系；指數函數y=mx及其反函數y=logmx中底數m的m＞1及0＜m＜1對函數單調性的影響；等比數列前n項和公式中q＝1與q≠1的區別；復數概念的分類；不等式性質中兩邊同時乘(除以)正數與負數對不等號方向的影響；排列組合中的分類計數原理；圓錐曲線中離心率的取值與橢圓、拋物線、雙曲線的對應關系；直線與圓錐曲線位置關系的討論；運用點斜式、斜截式直線方程時斜率k是否存在；曲線系方程中的參數與曲線類型；角終邊所在象限與三角函數符號等。

三、具體舉例分析

運用分類討論思想解題的步驟如下：

第一， 明確討論對象，即對哪個參數進行討論；

第二，對所討論的對象進行合理分類（分類時要做到不重復、不遺漏，標準要統一，分層不越級）；

第三，逐類討論，即對各類問題詳細討論，逐步解決；

第四，歸納總結，即把各類情況進行總結。

明確引起分類討論的原因，有利于掌握分類討論的思想方法，并順利解決問題。分類討論的主要原因有很多，下面簡單舉例進行說明：

1.由數學概念或公式引起的分類討論：如絕對值定義、二次函數定義、對數的性質、曲線標準方程、等比數列求和公式等等。

例1：設0＜x＜1，a＞0且a≠1，比較|loga(1－x)|與| loga (1＋x)|的大小。

【解析】對數函數的性質與底數a有關，可分兩類討論：

∵ 0＜x＜1 ∴0＜1-x＜1 ， 1+x＞1

當0＜a＜1時，|loga(1-x)|－|loga(1+x)|

＝loga(1-x)-[-loga (1＋x)]

＝loga(1－x )＞0

當a ＞1時，|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|

＝- loga(1－x)- loga(1＋x)

＝- loga(1－x )＞0

可知，|loga(1－x)| ＞ |loga(1＋x)|。

2.由參數的變化引起的分類討論：某些含參數的問題，由于參數的取值不同，會導致結果的不同，或者不同的參數值要運用不同的求解和證明方法。含參數的問題，必須考慮參數的不同取值對問題的不同影響。

例2：a為何值時，不等式(a2-3a+2)x2+(a-1)x+2＞0的解是一切實數？

【解析】（1）若a2-3a+2=0，解得a=1或a=2，

a=1時，原不等式為2>0恒成立，所以a=1適合題意；

a=2時，原不等式為x+2>0，它的解不是一切實數，所以a=2不適合題意。

【點評】題目中給出不等式這一概念，而非具體到一元幾次不等式，故解題過程中需針對a2-3a+2=0和a2-3a+2≠0兩種情況進行討論，確定不等式為一元一次或一元二次，再進行解答。[2]

⒊其他根據實際問題具體分析進行分類討論：如排列組合應用問題等。

例3：4位同學參加某種形式的競賽，競賽規則規定，每位同學必須從甲、乙兩道題中任選一道作答，選甲題答對得100分，答錯得－100分；選乙題答對得90分，答錯得－90分。若4位同學總分為0，則這4位同學不同的得分情況是（）種。

(A) 48 (B) 36 (C) 24 (D) 18

【解析】分類計數：

故選Ｂ。

四、注意事項

分類討論要注意以下四點：第一，根據問題實質，做到分類不重復、不遺漏；第二，熟練掌握基本知識、基本方法和基本技巧，做到融會貫通，這是解好分類討論問題的前提條件；第三，不斷地總結經驗教訓，克服分類討論中的主觀臆測和盲目性；第四，要注意簡化或避免分類討論，優化解題過程。

分類討論問題一般覆蓋知識點較多，有利于知識的考查，所以，解分類討論問題要有一定的分析能力、一定的分類思想與分類技巧。這種題型有利于對學生能力的考查，且與生產實踐和高等數學都緊密相關。高考對分類討論思想考查的一個重要目的是檢測學生的理性思維。正是因為這些原因，這類問題已成為高考的熱點，應引起教師及學生的高度重視。

參考文獻：

【1】數學思想方法.內蒙古人民出版社.黃澤選.

【2】數學教師教學用書.人民教育出版社.課程教材研究所

（責任編輯馮 璐）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文