帶輸入的吸收馬爾可夫鏈在經濟預測中的應用

摘要：在日益激烈的企業競爭中，預測產品壽命和市場銷售情況對企業進行科學的市場決策，使企業立于不敗之地，起著舉足輕重的作用。利用帶輸入的吸收馬爾可夫理論建立了預測模型，對廠家的某一產品的壽命和市場銷售情況進行有效的預測，從而為企業對產品的調整與銷售情況分析提供了可靠的決策依據。

關鍵詞：馬爾可夫鏈；經濟預測；應用

中圖分類號：F27 文獻標志碼：Ａ文章編號：１６７３－２９１Ｘ（２０11）05－０006－02

一、帶輸入的吸收馬爾可夫鏈

1．馬爾可夫鏈的概念

定義1：若隨機過程x（t），t∈T，滿足條件：

（1）時間集合取非負整數集T＝0，1，2，……，對應于每個時刻，狀態空間是離散集，記為E＝0，1，2，……，亦即x（t）是時間離散狀態離散的。

（2）對任意整數l，m，k及任意非負整數jl＞……＞j2＞j1（m＞jl）與相應的狀態im+k，im，ijl，……，ij2，ij1下式成立，Px（m+k）＝i|x（m）＝i，x（j）＝i，……x（j）＝i＝Px（m+k）＝i|x（m）＝i，則稱x（t），t∈T為馬爾可夫鏈，簡稱馬氏鏈（Markov chain）。

定義2：當k＝1時，稱為在時刻m的一步轉移概率Pxm+1＝j|xm＝i＝Pij（m，1），（i，j∈E），簡稱轉移概率（transition probability） [1]。若對任意的i，j∈E，馬爾可夫鏈x（t），t∈T的轉移概率Pij（m，1）與m無關，則稱馬氏鏈是齊次的，記Pij（m，1）＝Pij。

定義3：系統在時刻m從狀態i出發，經過k步到達狀態j的概率

Pij（m，k）＝P｛xm+k＝j|xm＝i｝，（i，j∈E，m≥0，k≥1）

為齊次馬爾可夫鏈x（t），t∈T的k步轉移概率。由齊次性知其與m無關，故簡記為Pij（k）。讓i，j跑遍所有狀態，Pij（i，j＝1，2，……，n）排成的矩陣

P＝P P … PP P … P… … … …P P … P

稱為轉移矩陣（transition matrix）。

轉移矩陣具有下列性質：

（1）Pij≥0（i，j＝1，2，……，n）

（2）Pik＝1（i，j＝1，2，……，n）

定義 4：Pj（k）＝P（Xk＝j）稱為馬氏鏈的絕對概率。它表示轉移第k時，馬氏鏈處于狀態j的概率。特別k＝0時的絕對概率Pj（0）成為初始概率，簡記為Pj，它表示在初始時刻（k＝0）時，馬氏鏈處于狀態j的概率。初始概率和一步轉移概率可以完全地表示在任何時刻馬氏鏈處于任何狀態的絕對概率。

定理 1：絕對概率由初始概率和轉移概率完全確定，即

Pj（k）=PiPij（k）

=Pj（k）＝P（Xk＝j）

=P（X0＝i，Xk＝j）

=P（X0＝i）p（Xk＝j/X0＝i）

＝PiPij（k）

向量和矩陣形式表示為：

Pk＝P0P（k）＝P0Pk

2.帶輸入的吸收馬爾可夫鏈的概念

定義5：馬爾可夫鏈中狀態 若轉移概率滿足以下兩個條件：

（1）Pij＝1

（2） Pik＝0，i≠k。

則稱該狀態為吸收狀態（absorbing state）。

定義6：滿足以下兩個條件的馬爾可夫鏈，稱為吸收馬爾可夫鏈（absorbing Markov chain）。

（1）至少存在一個吸收狀態；

（2）從任何狀態經有限步終可到達一個吸收狀態。

吸收馬爾可夫鏈中的非吸收狀態稱為轉移狀態（transition state）。

吸收馬爾可夫鏈轉移矩陣形式表示為：

P＝EORQ

r個吸收狀態 k個轉移狀態

其中，E，O，E和Q是矩陣P相應于上述排列的分塊矩陣。

定理2：吸收馬爾可夫鏈的轉移矩陣P＝EORQ，有以下結論：

（1）當t→∞時，Qt→O

（2）矩陣E－Q可逆

（3）N＝（E-Q）-1＝E+Q+Q2+……

其中，結論（1）中的O表示零矩陣；結論（3）中的N是k階方陣，稱為該吸收馬爾可夫鏈的基本矩陣（fundamental matrix）。

定理3：具有r個吸收狀態的吸收馬爾可夫鏈，從轉移狀態i1＝r+i開始，到達吸收狀態之前，在所有轉移狀態之間傳遞步數的數學期望值是基本矩陣N＝（E－Q）-1的第i行元素值之和。

即為：n

定理4：具有r（r＞0）個吸收狀態的吸收馬爾可夫鏈，從轉移狀態i1＝r+i開始，最終進入第j吸收狀態的概率正是矩陣B＝NR的第i行j列元素值。

定理5：帶有輸入的吸收馬爾可夫鏈，輸入向量為F，則其狀態向量序列的轉移向量部分。

X（k）（k＝0，1，2，……）存在極限FN，其中，N是吸收馬爾可夫鏈基本矩陣。

二、應用實例分析

產品銷售一般有引入期、成長期、成熟期和衰退期，不管哪一時期還是哪一產品，我們都要考慮產品投放市場的壽命和影響產品壽命的主要因素。

設：有某廠家某一產品每月生產出廠時合格率為96%，有1%的產品不合格作為廢品報廢，有1%的產品成為次品；在銷售時有99%可以正常銷售，因運輸等其他原因有0.1%被顧客退回廠家，有0.8%無法銷售而作為廢品報廢，有0.1%成為次品，次品中有50%可以修復或復原可以銷售，有40%無法修復而報廢。試圖進行產品壽命分析和產品銷售情況分析。如果該企業每月增產50萬件產品，則銷售、生產的結構如何？

根據馬爾可夫鏈數學模型，我們得轉移圖和轉移矩陣如下：

這是吸收馬爾可夫鏈，由典范式轉移矩陣P＝EORQ，得

Q＝0.960.020.010.990.0010.0010.50 0.1 R＝0.01 000 0.00800 0 0.4

E-Q＝0.04-0.02 -0.01-0.990.099 -0.001-0.500.9

基本矩陣為：

N＝（E-Q）-1＝68.429871.3699670.76185467.851432.3593880.75652638.016590.7610931.534363

算得矩陣：B＝NR

B＝NR＝0.68430.01096 0.304740.67850.018875 0.3026110.380166 0.006089 0.613745

由于銷售狀態是轉移的開始狀態，該向量的各分量值應該是最終達到各吸收狀態的概率值。因而由定理4得到對產品銷售當中的產品報廢情況分析，即報廢的原因分配是：

在報廢產品中，生產環節占 68.43%，銷售環節報廢占1.096%，次品無法恢復而報廢占30.474%。

又從定理3得到銷售的產品壽命為：

n1i＝68.42987+1.369967+0.761854＝70.5616 （月）。

如果該企業每月增產50萬件產品，則該系統成為一個帶輸入的吸收馬爾可夫鏈，輸入向量如下：

F＝（50，0，0）

根據定理5，我們可知其產品的生產將穩定于向量FN。

FN＝（3421.493，68.4983，38.0927）

據此可知該產品的產量穩定在3 528萬件左右，可得到穩定的效益和70個月產品壽命。

三、總結

影響產品銷售和壽命的因素非常多，其中許多因素與產品質量和銷售過程控制有關。本文運用帶輸入的吸收馬爾可夫模型，對廠家的某一產品的生產、壽命和市場銷售情況進行了有效的預測，從而為企業對產品的調整與銷售情況分析提供了可靠的決策依據。主要由于生產的原因，在報廢的產品占絕大部分時，企業必須及時調整經營策略、改進包裝，同時，應改進提高生產質量。這樣，才能在市場競爭中立于不敗之地，同時應根據產品的市場壽命估計，及時調整產品結構或轉產其他產品，以保證企業生產與銷售長盛不衰，使企業的經濟效益得到有效的增長。

參考文獻：

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