草原資源的最優利用控制

摘要：與前人對資源最優利用的研究很多都是基于計量經濟模型或者博弈論的角度來闡釋不同，在有關經濟理論的基礎上通過建立有關數學模型，利用經濟控制論中的哈密爾頓函數分析求解了資源過度開發的一個特例，即過度放牧對草原退化及經濟效益的影響，得出以何種速度利用草原才能在不破壞生態的情況下為我們所永續利用，具有一定的應用價值。

關鍵詞：草原資源；過度放牧；草原退化；利用速度；哈密爾頓函數

中圖分類號：F205 文獻標志碼：Ａ文章編號：１６７３－２９１Ｘ（２０11）05－０255－02

引言

我國草地面積廣大，約有60多億畝，占國土總面積的41.6%，總擁有量位居世界第三位。但按人均水平計算，我國人均擁有草地面積只有世界平均水平（11.4畝）的1/2，且天然優質牧場比例不高。近三十年來，在畜牧業迅速發展的同時，由于我們輕視生態環境的保護和建設，加之嚴重過度放牧，我國的許多地區，特別是西部地區的草地已經嚴重退化，沙漠化和鹽堿化的面積正在逐年擴大。草原退化導致土壤侵蝕和干旱、沙化、鼠害、蟲害加劇，使生態環境日趨惡化，草畜矛盾日益突出，反過來又嚴重制約了畜牧業的健康發展。因此，如何制定最有效的草原利用政策，使牧民（農民）在積極保護草原生態環境和合理利用草原資源下提高經濟效益，已成為政府部門迫切需要解決的重大課題。目前對草地退化的生物學機理研究較多，而對過度放牧引起的草原退化卻只限于定性描述。本文在建立相關數學模型并進行詳細分析的基礎上，分析與揭示了牧場過度放牧的深層次原因和機理，提出了一系列草原資源保護的最優利用政策。

在進行基本模型分析之前，本文先引入一個輔助模型，以解釋在沒有約束機制下為什么會出現草原過度利用問題，輔助模型的問題描述如下：

設某地有一塊面積為s0的公共草原，假設只有一戶牧民在此牧羊為生。根據這塊草原的地理位置、土質、草的種類及質量，假定能保持植物可再生和草原生態平衡的最大可能牧羊數量為qm。若牧羊數量超過該極限，則草原開始退化。設可放牧有效草原面積為s，草原退化率為r。可放牧有效草原面積和草原退化率是牧羊數量的減函數，若取該函數為線性形式，且牧羊規模提高1%引起的草地退化比率為d，草原退化將使羊的產肉率、產毛率等經濟指標下降，從而導致平均每只羊的經濟價值p下降（假設不考慮市場供需變化的影響）。假設平均每只羊的經濟價值p與草原退化率r的函數關系為p＝p0（1-prm），其中，p為草原退化率增加一個百分點引起的每只羊的經濟價值下降比例（也可認為是草原退化價格彈性系數）。p0為草原未退化下的每只羊的經濟價值（假設不考慮市場供需變化的影響）。假設每只羊的飼養成本為c，牧民牧羊數量為q，則該戶牧民的期望收益函數為u＝pq－cq，此式令u對q求導并令其為零，再經過一系列變化可得如下不等式：（因為本文重點不是在輔助模型，所以就簡便敘述即可）

（1-）+2pd（1-）+（pd）-4pd（1-）＝（1-）-pd

≥0（11）

此式說明，只要p＞0，牧民就有積極性以盡可能大的數量q＞qm （因為此式子是在q＞qm下才成立的）牧羊。由此，必然導致過度放牧而使草場發生退化。

可見，草原作為一種公共資源，在沒有建立和實施一定的激勵與約束機制情況下，讓牧民自由放牧，必然出現過度放牧現象，從而造成草原的退化和嚴重沙漠化。我國近幾年在內蒙古、青海、寧夏等地區出現的大面積草原沙漠化現象證實了這一結論。因此，擁有草原資源的各級地方政府，必須詳細測算每塊草原的可放牧規模，建立有關政策法規，正確指導和限制牧民的放牧規模，以保護草原資源不被破壞。對于如何才能控制過度放牧即過度消耗草原的問題，以下我們重點闡述。

一、建立基本模型

本模型主要是利用了經濟控制論中的最優控制理論，即在有約束的條件下非線性系統的最有控制問題。設x（t）是在t時刻草原可提供牧草的面積（單位：m2），u（t）是在t時刻消耗速度，P是每平方米草地的價格（常數），C是消耗一平方米草地的費用（常數），f（x）是草原的增長函數，g（t）是增長（生長率）系數，則草原的狀態方程與目標函數（貼現總收益）分別是

狀態方程

=g（t）f（x）-u（t）.

初始條件

x（t0）=x0 。

目標函數

J=e（P-C）udt.

式中e為貼現因子，δ為銀行平均利率。

草地消耗最優控制問題是在約束條件x（t）≥0，0≤u≤umax之下，求出最優消耗策略以使貼現總收益J最大。

草地消耗問題的哈密頓函數與協狀態方程分別為：

H=e（P-C）u+φg（t）f（x）-u，

=－φg（t）f（x）

若令＝e，即φ＝e，則哈密頓函數與協狀態方程為H＝e（P－C）u+g（t）f（x）-u＝g（t）f（x）-u

因為哈密頓函數中略去因子e，并不影響以下的討論，為書方便，將仍記為φ，于是可將哈密頓函數與狀態方程改寫為：H＝（P－C）u+φg（t）f（x）-u＝（P－C-φ）u+φ（t）f（x），

=φg[f（x）-u]

由于上述哈密頓函數對u是線性的，因此最優控制應取為u*＝umax，當P－C-φ＞0時，0，當P－C-φ＜0時。

令控制變量u的線性項系數等于零，即可得出這一奇異控制，φ＝P－C。

令＝0，則得到相應的必須滿足f[（t）]＝

當函數f，g，u已知時，便可由上式解出可供消耗草地量（t），并由狀態方程得到最大消耗速度（量）為

（t）＝g（t）f（（x））-

當f（x）是x的正凸函數，g（t）是t的正減函數，可以求得d/dt≤0，因而≥0。

從而，我們給出了如下最優消耗控制策略：

（i）當x0≤時，應取u*=0，使x（t）增加，一直增加到時把它變換為u*=（t），是當u*=0的狀態軌線x（t）與（t）相交的時間。

（ii）當x0＞（t0）時，則取u*=umax，使x（t）減小，一直減少到時變換為u*=（t）。是當u*=umax的狀態軌線x（t）與（t）相交的時間，這樣，最優采伐策略是

當x0＜（t0）時，u*=0，當t≤t＜t時，當≤t＜t時

當x0＞（t0）時，u*=umax，當t≤t＜t時，當≤t＜t時

當x0＝（t0）時，u*=（t）。

二、結論

以上模型中得出的結果說明，對于草原的利用不能放任自流，要結合草原的可利用面積合理安排放牧的數量和速度，即草原的消耗速度，這不僅能很好地保護草原這種可再生的生態資源，也對我們的牧民有利，從而對我國的經濟持續發展起到良好的推動作用。通過前面的模型化分析，我們可以得出如下一系列草原資源保護激勵與約束機制的設計原則供政府部門參考。

1.政府部門應詳細測算每塊草原牧場的合理放牧規模，嚴格限制牧民的放牧規模，對過度放牧者要采取嚴厲的懲罰措施，以保證草原牧場不致被破壞。

2.在同一塊公共草原牧場上放牧者越多，無序競爭越嚴重，對草原牧場的破壞越大、越快。因此，政府部門必須要求每戶牧民（農民）按規定的規模放牧，并通過建立相應的調查和監督機制與懲罰措施配套，確實保證政策措施能夠得到有效執行。

3.應采取以下一些有效管理措施保護草原資源：一是要建立牧草種子基地，培育和開發優良牧草種子，優化草原草種結構，逐步提高草場承載能力。二是要開辟一定的人工草地，引導牧民走放養和圈養相結合、畜業和草業發展相結合的路子，提高草原資源利用率。三是要改良牲畜品種，引進優質牲畜品種，淘汰產出低、食草量大、對草場有破壞性的牲畜品種。四是要對以農擠牧、以牧擠林的地區要實行退耕還牧、退牧還林政策；對已嚴重堿化和沙化的草地應在一定時期禁止放牧，在休養生息的同時開展生態建設工程。五是要對一些干旱、半干旱、沙漠化地區，要修建引水、蓄水工程，建立人工湖泊，使這些地區的生態環境盡快得到有效改善。

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