Winkler地基上變厚度矩形板彎曲的微分求積解

楊 柳,彭建設,謝 剛,羅光兵

(1.西華師范大學物理與電子信息學院,四川南充 637002;2.成都大學工業制造學院,四川成都 610106; 3.西南交通大學牽引動力國家重點實驗室,四川成都 610031)

0 引 言

在自然科學的研究中,各學科領域對于實際問題的研究,最終都將涉及到對偏微分方程的求解,目前,數值解已成為求解這些偏微分方程的主要方法.例如,有限元法、有限差分法、無網格法、微分求積法等[1-7].上述方法各有優缺點,并在不同的領域有成功的應用.Winkler地基上板的彎曲問題是一種常見的工程問題,本文運用微分求積法研究了Winkler地基上變厚度矩形板的彎曲問題.

1 Winkler地基上變厚度板的控制方程

在Winkler地基上,如果薄板的厚度發生變化則其抗撓度剛度D將不是常數,對該類型矩形薄板在載荷作用下其線性彎曲問題的控制方程為,

設 a,b分別為x,y方向的長和寬,將位置坐標做如下無量綱化轉換,

于是,無量綱化后的控制方程可寫為,

2 微分求積法原理

微分求積法以全域內節點函數值的加權和來逼近函數偏導數在某點的值,并在全域內運用高階Lagrange多項式逼近域內某一待求函數.

設 g(x)為一待求函數,先沿 x軸設置N個節點,并以節點函數值,g(xi)(i=1,…,N),作為基本未知量,在全域內采用高階Lagrange多項式插值逼近 g(x),

令g(x)的n階導數在節點處的值為節點函數值的加權和,

將式(4)～ (6)代入式(7),即可確定加權系數

最后,由控制微分方程解出待定參數 g(xi),即求得 g(x)的數值解.

3 Winkler地基上變厚度板靜力彎曲

在薄板上沿x方向取Nx個節點,沿y方向取Ny個節點.根據微分求積法原理,撓度 w對坐標的高階偏導數在無量綱坐標為(ζi,ηj)的節點處的函數值可以用各節點的撓度值w(ζi,ηj)的加權和表示,對式(3)有微分求積方程,

其中,i=1,2,…,Nx;j=1,2,…,Ny.

由式(11)可見,全域內有 Nx×Ny個待定參數w(ζi,ηj),將其表達式表達為矩陣形式為,

其中,δ為Nx×Ny行的待定參數列陣,C表示為Nx× Ny行Nx×Ny列的權系數矩陣,F為Nx×Ny行的廣義載荷列陣,C,F分別由式(12)的左邊和右邊形成.

考慮邊界條件,矩形薄板有4個邊界,共有8個邊界條件.例如,四邊簡支時,其8個邊界條件為,

即,

其中,i=1,2,…,Nx,j=1,2,…,Ny.

由此,可得4(Nx+Ny)個代表邊界條件的微分求積約束方程.將式(13)分別取代式(11)中的 i= 1,2,Nx-1,Nx和j=1,2,Ny-1,Ny時表示的節點方程,取代后的方程即成為融入邊界條件的可解線性方程組,從而得到式(12)中的待定參數列陣.如果在全域內求解該線性方程組即得節點位移w(ζi, ηj)的列陣δ,全域的位移場可由Lagrange插值得到,

4 算 例

例1 Winkler地基上,一個四邊簡支的正方形板,在均布載荷 q作用下,求其中點處的撓度.

例2 Winkler地基上,一個四邊固支的正方形板,在均布載荷 q作用下,求其中點處的撓度.

例3 Winkler地基上,一個四邊簡支的正方形板,受分布載荷q=q0y/a作用,板厚為 h(x,y)= [1+λ(2y/a-1)]h0,h0為y=a/2處厚度,取λ= 0.2,μ=0.25,求其 y方向中線的撓度.

例1～例3的解如表1～表3所示.

表1 Winkler地基上四邊簡支方板在均布載荷作用下中點撓度

表2 Winkler地基上四邊固支方板在均布載荷作用下中點撓度

表3 Winkler地基上變厚度簡支方板的撓度

5 結 語

本文采用微分求積法求解Winkler地基上變厚度矩形板的彎曲問題,給出了可參考的數據.從算例的計算結果可以看出,采用微分求積法對求解Winkler地基上矩形板彎曲,以及變厚度矩形板彎曲具有較高的精度.與多變量樣條元法[8]和網格差分法[9]相比,微分求積法原理簡單,適應性廣,計算量小,程序易于在計算機上實現,是解決該問題的一種較好的數值方法.

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