二階曲線射影分類方法探討

宋占奎

（湖北十堰職業技術學院，湖北十堰 442000）

二階曲線射影分類方法探討

宋占奎

（湖北十堰職業技術學院，湖北十堰 442000）

判別二階曲線射影分類方法有自極三角形法、選點法、主子式法、配方法和初等變換法。五種方法可把任給一條二階曲線的方程化為標準形式，再判斷它的類型。它們各有所長，可根據實際要求選擇使用。

二階曲線；射影變換；虛曲線；標準形式

0 引 言

當數學由常量進入變量時，以描述客觀現象為數量特征的函數就成為一種有力的“工具”。關于函數的獲得可以說是渠道不同方法各異。這里僅對二階曲線射影分類方法進行探討。

射影平面上的二階曲線及對偶地二階曲線分為以下五類[1]：

1 自極三角形法

自極三角形法就是選擇一個自極三角形作為坐標三角形,將二階曲線化成標準形式之后再分類的方法。如果作射影變換取某個自極三角形為坐標三角形,則二階曲線的方程可以化成只含平方項，從而可判斷它屬于哪一類,再適當選擇單位點,方程可化成標準形式[2]。

可得到兩個獨立的非零解，即得到奇異點P（2,1,0）和Q（2,0,-1）。另外，不在二階曲線上任取一點R（0,0,1），以自極三角形PQR為坐標三角形。新舊坐標之間的變換由下式確定：

2 選點法

二次曲線的類型是由秩和虛或實曲線決定的。因為常態二階虛曲線上無實點，所以對秩為3的二階曲線，如果能在它上面找到一個實點，則該曲線是秩為3的實曲線；對于秩為2的二階曲線有唯一奇異點且是實點，則它是秩為2的虛曲線。

3 主子式法

如果二階曲線的秩為2，可由系數矩陣D是否是秩為2的半正定或半負定來確定它的類型。在高等代數中，一個實對稱矩陣為半正定的充要條件是它的一切主子式≥0，半負定的充要條件是它的奇數階主子式≤0，偶數階主子式≥0。

利用主子式判別二階曲線類型的方法比較簡便，但與選點法一樣，不能看出射影變換關系，如果要寫出射影變換關系，除了使用自極三角形法外，還可利用配方法和初等變換法。

4 配方法

[例5]化二階曲線為標準方程。

5 初等變換法

在高等代數中可用矩陣的初等變換把二次型化

為標準形式，這個方法也可用來化簡二階曲線。

6 結束語

二階曲線射影分類方法有自極三角形法、選點法、主子式法、配方法、初等變換法，這五種方法各有所長，可根據實際問題的要求選擇使用。對于非退化的二階曲線，必存在自極三角形，故利用自極三角形法較為方便。如果能在它上面找到一個實點，則利用選點法較為方便。而主子式判別二階曲線類型的方法也較簡便，但不能看出射影變換關系，如果要寫出射影變換關系，除使用自極三角形法外，在原式的左邊沒有平方項時，要先作非異的射影變換，再利用配方法。而初等變換法則適用于上述任何情況，但對高階矩陣來說運算量較大。

[1]鐘集.高等幾何[M].北京:高等教育出版社，1983:121.

[2]梅向明，劉增賢，林向巖.高等幾何[M].北京:高等教育出版社，1985:187.

[3]方德植，陳奕培.射影幾何[M].北京:高等教育出版社，1983:167.

[4]朱德祥.高等幾何[M].北京:高等教育出版社，1983:111.

[5]陳啟旭，王大淦，林達堅，等.高等幾何[M].福州:福建人民出版社，1983:225.

Discussion on Classification of Second Curve Projective

SONG Zhankui
（Hubei Shiyan Vocational & Technical College, Shiyan, 442000, China）

The way of judging the classification of the second curve projective is the method of self-pole triangle, selected points, mastering type, completing square and elementary transformation. The five methods can transform any equation of the second curve to the standard form, and then judge its type. Each of these methods has advantages, and can be used according to the practical condition.

Second curve; Projective transform; Virtual curve; Standard form

O185.1

A

1671-4326（2011）03-0049-04

2011-05-17

宋占奎（1947—），男，陜西大荔人，湖北十堰職業技術學院教授.

席高文]