網絡計劃圖中關鍵線路的求解方法探討——以“生產與運營管理”課程的一道習題為例

朱良華

（梧州學院，廣西 梧州 543002）

網絡計劃圖中關鍵線路的求解方法探討
——以“生產與運營管理”課程的一道習題為例

朱良華

（梧州學院，廣西 梧州 543002）

關鍵線路主要應用于項目進度、網絡優化、項目索賠等，是項目網絡的瓶頸，準確求解網絡圖中的關鍵線路具有十分重要的意義。“生產與運營管理”課程中以一道習題為例，系統介紹了三種常用的求解關鍵線路的方法：時差法、線路時間比較法、破圈法。通過對比分析和思考，發現時差法并不適用于所有節點時差均為零的這一特殊網絡圖。由此得出，節點時差為零只是關鍵線路的必要條件，而非充分條件。在求解關鍵線路的時候，線路時間比較法和破圈法相對而言更加準確可靠。

網絡計劃圖；關鍵線路；時差法

有研究表明，在組織管理中引入網絡計劃技術可比傳統管理方法在工期上縮短20%左右，節約成本10%以上[1]。網絡計劃方法自上個世紀50年代中后期從美國逐漸發展起來后，目前正以其無可比擬的優越性受到工程界的普遍推崇，成為了項目計劃管理的重要方法。在“生產與運營管理”課程中，關于網絡計劃方法的研究、尤其是關于關鍵線路的判斷與優化是課程中的一個重要內容，也是學生學習起來覺得比較吃力的一個內容。在本文中，筆者主要根據個人對課程中的一道練習題的理解與思考，嘗試對箭線型網絡圖中關鍵線路求解方法進行探討，期望能夠起到拋磚引玉的作用。

一、關鍵線路在項目管理中的主要應用

關鍵線路（Critical Path）又稱關鍵路線，在項目管理中，關鍵線路具有最長的總工期并決定了整個項目的最短完成時間。關鍵線路是整個網絡的瓶頸環節。任何關鍵線路上的任何延遲都將推遲整個項目的完成時間，即在關鍵路徑上沒有浮動時間。管理者應以關鍵線路上的關鍵活動為管理重點，調動企業資源，以期更好、更快地完成計劃任務。具體而言，關鍵線路在項目管理中的主要應用有以下3個方面。

（一）基于關鍵線路進行項目進度管理

進度管理是項目管理的重要內容之一?；陉P鍵線路對項目進度進行管理，這是人們研究關鍵線路的首要意義。所謂關鍵，那肯定是核心所在，相當于項目的命脈。項目建設中的工作數量越多、邏輯越復雜，關鍵線路的重要性就越大。這是因為，一方面，關鍵線路上的作業活動都是關鍵活動，這些活動決定了項目的最短完成時間，抓住了關鍵線路就是抓住了項目進度；另一方面，關鍵線路上的作業活動數量較少，抓住了關鍵的少數后，管理者們就可以充分配置有限的資源，做到有的放矢，將“好鋼用在刀刃上”，節約資源。

（二）基于關鍵線路進行項目網絡優化

基于關鍵線路主要可以實現兩大網絡優化。一是工期優化。因為項目工期是由關鍵線路決定的，所以可以通過調整關鍵線路上的施工方案，改變作業活動的邏輯關系，縮短關鍵線路的長度，從而縮短項目工期。這種網絡優化，既縮短了工期，但又沒有增加任何實質的投入。二是針對關鍵線路上的作業活動，有選擇性地采用增加投入加快項目進度。只要增加的直接成本少于減少的間接成本，就可以實現網絡的費用優化。

（三）基于關鍵線路進行項目索賠管理

項目實施其實就是執行合同的過程，或者說項目管理的過程就是合同管理的過程。在擬定項目合同的時候，由于認識的局限性和環境的不可預測性，不可能預測到項目實施過程中所有可能發生的情形。當項目在建設過程出現了合同中沒有規定的事情的時候，就需要對合同進行調整，這往往就會產生索賠。索賠的內容主要就是工期和費用。在針對項目工期進行索賠的時候，關鍵線路就起到了重要的作用。如果干擾事件是關鍵線路上的，那么索賠的工期就是干擾事件發生的持續時間。如果干擾事件是非關鍵線路上的，那么索賠則只能針對超過了總時差的那一部分時間長度。

由此可見，關鍵線路在項目管理中具有舉足輕重的作用。因此，準確求解關鍵線路，對開展項目管理具有十分重要的作用。

二、關于關鍵線路求解方法的思考——以一道習題為例

筆者在講授“生產與運營管理”課程的時候，使用的教材《生產與運營管理》（第二版）是由陳榮秋、馬士華編著，高等教育出版社出版的。該教材第十四章——項目計劃管理后面附有一道這樣的練習題[2]411：按表a提供的資料， （1）繪制節點型網絡圖和箭線型網絡圖；（2）在箭線型網絡圖上計算事件的時間參數；（3）計算活動的最早可能開工時間和最遲必須開工時間，求出關鍵線路。

表a 項目活動的基本信息

筆者結合本文的主題，在這里主要是探討該道練習題中箭線型網絡圖的關鍵線路求解方法。

根據已知活動的緊后邏輯關系，按照箭線型網絡圖的繪制原則畫出箭線型網絡圖，如下圖a所示。其中，網絡圖中的兩個虛箭線為虛活動，僅代表活動的先后關系，既不需要消耗時間，也不需要消耗其他資源。

圖a 箭線型網絡圖

常用的求解關鍵線路的方法主要有時差法、線路時間比較法、破圈法。下面分別運用這三種方法來求解該網絡圖的關鍵線路。

（一）基于時差法求解關鍵線路

該方法是對關鍵線路的定義的運用。陳榮秋、馬士華（2005）等人均認為，從起始節點到終止節點順序地將所有事件時差為零的節點連接起來的線路即為關鍵線路[2]387。于是，先計算出圖a中各個節點的時間參數（事件最早可能發生時間ET（i），事件最遲必須發生時間LT（i））；再求出網絡圖中的關鍵節點，即時差S（i）為零（S（i）=（LT（i）-ET（i）=0）的節點；最后，從起始節點到終止節點順序地將所有關鍵節點連接起來，所得到的線路即為關鍵線路。

網絡圖a中各個節點的時間參數如表b所示。其中，運用到的計算公式為：ET（i）=max{ET（i）+t（ i，j） }，LT（i） =min{LT（ i） -t（ i， j） }。式中，i和j分別代表箭尾時間和箭頭時間；t（i，j）為活動（i，j）所需時間。由于網絡圖中的虛剪線只反映邏輯關系，不耗用時間和其他資源，因此，t（ 3， 4） =0， t（ 5， 6） =0。

表b 事件時間參數計算表

從表b計算的結果來看，這個網絡圖比較特殊，圖中所有節點的時差均為0。也就是說，網絡圖中的9個節點均為關鍵節點。那么從起始節點①號節點到終止節點⑨順序地將關鍵節點連接起來，多得到的任何一條線路都是項目的關鍵線路。顯然，這道題目不僅是存在著多條關鍵線路，而且是每條線路都是關鍵線路。根據箭線型網絡圖的邏輯關系，我們一共可以連接出5條線路。按照時差法的計算結果，則這5條線路都是關鍵線路了，如表c所示。這些線路果真都是所求的關鍵線路嗎？

表c 基于關鍵線路定義求解出的關鍵線路

我們不妨將上述5條關鍵線路的長度求解出來，求解方法是對每條關鍵線路所包含的作業活動的作業時間求和。計算結果如表c所示。但是，這里所求解出來的關鍵線路的長度并不相同，最長為46周，最短為37周。關鍵線路的性質告訴我們，關鍵線路的長度決定了整個工期的長度，線路中各種活動的時間之和一定是最大的[2]390。因此，如果有多條關鍵線路的話，那么所有關鍵線路的長度應該是相等的，并且是所有線路中長度最大的。然而，表c的計算結果顯然與此相矛盾。莫非這5條關鍵線路并非都是關鍵線路？我們運用其他方法來求解看看結果如何。

（二）基于線路時間比較法求解關鍵線路

該方法是對網絡圖中關鍵線路最長這一特性的運用。首先，找出網絡圖中所有可能的線路；然后，計算出這些線路的長度，其中時間最長的即為關鍵線路。先列出網絡圖a中包含的所有線路，共有表c中所列示的5條。既然，關鍵線路最長，根據這5條線路的長度來看，只有第2條和第5條線路，才是真正意義上的關鍵線路，它們的長度都為46周，為這5條線路中的最大值，也就是該項目的工期。而第1條、第3條、第4條線路只是偽關鍵線路。真的是這樣嗎？我們且看看第三種方法的求解結果。

（三）基于破圈法求解關鍵線路

這一方法比較實用，而且簡便易行，它不需要求時間與時差，而可以直接根據畫出的網絡圖進行分析，并且很快就可以找出關鍵的線路。具體方法如下： 在網絡圖中，如果從某一個結點到另一個結點之間存在著兩條或兩條以上不同的線路，便形成了一個封閉的環，稱之為圈。如果這兩條線路的時間不相等，則刪去線路時間較短的線路，保留下來作業時間較長的線路， 即破圈；如果這兩條線路的時間都相等，則破圈時，要把兩條線路同時保留下來。把所有的圈都破除后，剩下的首尾連接的線路就是關鍵線路。破圈時應堅持從前向后，從內向外的順序進行。

具體到網路圖a，求解過程如下： （1）從節點②到節點④存在著兩條線路：②④和②③④，其中線路②④要短于線路②③④，所以首先將②④破掉。（2）依此類推，活動H、活動C先后被破除。從節點③到節點⑧存在著兩條線路：③⑤⑧和③④⑦⑧，其中③⑤⑧線路要短，于是活動G被刪除。（3）至此，所有圈均被破除，剩下兩條線路①②③⑤⑥⑧⑨和①②③④⑦⑧⑨，其長度均為46，即為該網絡圖的關鍵線路，如下圖b所示。

圖b 破圈法求解關鍵線路示意圖

顯然，破圈法求解出來的關鍵線路與線路時間比較法所求解出來的結果是相同的，并且這兩條線路上節點時差都為零，也都是網絡圖中最長的線路，完全符合“關鍵線路至少有一條，可能有多條”和“關鍵線路所有活動時差均為零，沒有任何緩沖余地”的特征[2]390。從另一個角度來講，時差法并不適用于這道練習題。

筆者所用教材中的這道練習題比較特殊，就是網絡圖中所有的節點的時差都為零。但是由于并不是每項活動所需要的時間都相等，網絡圖中的線路長度肯定是有差異的，因此，基于時差法所得出的所有線路都是關鍵線路的結論肯定是站不住腳的。我們反過來看運用線路時間比較法和破圈法所求解出來的兩條關鍵線路①②③⑤⑥⑧⑨和①②③④⑦⑧⑨，恰好涵蓋了網絡圖中的9個節點。這道練習題反映出由時差為零的節點所連接形成的線路不一定是關鍵線路，但是關鍵線路上節點的時差一定為零?？梢姡濣c時差為零并不是判斷關鍵線路的充分條件，而只是必要條件。

三、結論

關鍵線路是整過網絡的瓶頸環節。求解關鍵線路對科學開展項目管理具有重要意義。但是，在時差法、線路時間比較法和破圈法這三種求解箭線型網絡圖常用方法中，時差法并不適用于所有節點時差均為零的這一特殊網絡圖。節點時差為零只是關鍵線路的必要條件，而非充分條件。在求解關鍵線路的時候，線路時間比較法和破圈法相對而言更加準確可靠。

[1]楊青.關鍵線路在工程網絡計劃中的作用及確定[J].山西煤炭管理干部學院學報,2010（2）.

[2]陳榮秋,馬士華.生產與運作管理[M].北京:高等教育出版社,2005.

F224.33

A

1673-8535（2011）02-0095-05

2011-01-20

新世紀廣西高等教育教學改革工程“十一五”第4批啟動項目（2008CD82）階段性成果

朱良華（1980-），男，湖北仙桃人，梧州學院講師、經濟師，企業管理碩士，主要研究方向：人力資源管理。

高 堅）