函數極限的若干求解方法

于吉亮，汪儉彬

（1. 河南大學 數學與信息科學學院，河南 開封 475004；2. 濟源職業技術學院 基礎部，河南 濟源 454650）

函數極限的若干求解方法

于吉亮1，汪儉彬2

（1. 河南大學 數學與信息科學學院，河南 開封 475004；2. 濟源職業技術學院 基礎部，河南 濟源 454650）

通過實例探討了函數極限的求解方法，涉及迫斂性、羅比達法則、泰勒級數展開式、中值定理、定積分的定義、等價無窮小替換和收斂級數的必要條件等極限求解方法，期望能對函數極限理論的教學提供參考作用．

函數極限；泰勒級數；中值定理

函數極限理論不僅是微積分的基礎，也是高等數學教學的重點和難點．本文通過實例探討函數極限的求解方法，期望能對函數極限理論的教學提供參考．

1 利用迫斂性求函數極限

2 利用羅比達法則求函數極限

對于0?∞、1∞、0∞和∞-∞等不定式極限，需要先進行簡單變化使其轉化為熟知的00型或∞∞型不定式，再利用羅比達法則進行計算．

解：這是1∞型不定式極限問題．原式取對數可得

3 利用泰勒級數展開式求函數極限

當比式的分子、分母多次求導很繁瑣時，可以考慮利用泰勒公式求函數極限，具體步驟是：先求出不定式分子、分母的各部分在x點的泰勒展開式，然后根據需要取適當的值，整理后求出不定式的極限．

此例若用羅比達法則求解，則分子的導數較繁．

4 利用中值定理求函數極限

對于一些含有積分式子或分式的極限，可考慮利用積分中值定理或微分中值定理進行求解．

5 利用定積分的定義求函數極限

6 利用等價無窮小替換求函數極限

在很多情況下，我們可以把題目中的無窮小量用

在進行等價無窮小替換時應注意，可以對不定式中相乘或相除的因式進行替換，但對極限中相加或相減的部分則不能隨意替換．

7 利用收斂級數的必要條件求函數極限

求極限的方法還有很多，本文只是列舉了一些簡單而又常用的方法．

[1] 華東師范大學數學系．數學分析：上冊[M]．北京：高等教育出版社，2001：15―56．

[2] 陜西師范大學數學系．數學分析習題解析：上冊[M]．西安：陜西師范大學出版社，2003：18―82．

[3] 陳守信．數學分析選講[M]．北京：機械工業出版社，2009：1―33．

[4] 裴禮文．數學分析中的典型問題與方法[M]．北京：高等教育出版社，2001：10―89．

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1006-5261(2011)02-0079-02

2010-11-26

于吉亮（1962―），男，河南開封人，講師．

〔責任編輯 張繼金〕