用“高觀點”研究初等數(shù)學(xué)問題的實踐意義分析

韓 誠

(鹽城師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 鹽城 224001)

19世紀(jì)末20世紀(jì)初，英國爆發(fā)了一場數(shù)學(xué)教學(xué)改革的運動，人們稱之為“克萊茵—貝利運動”。在這次運動中，德國數(shù)學(xué)家F.克萊茵寫了《高觀點下的初等數(shù)學(xué)》，“主張加強(qiáng)函數(shù)和微積分的教學(xué)并借此改革充實代數(shù)內(nèi)容”，“另一方面則強(qiáng)調(diào)把解析幾何納入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容,并用幾何變換的觀點改造傳統(tǒng)的幾何”[1]。以下將利用高等數(shù)學(xué)思想方法來分析、解決初等數(shù)學(xué)的做法簡稱“高觀點”。近年來，我國中學(xué)數(shù)學(xué)里的高等數(shù)學(xué)的含量進(jìn)一步擴(kuò)大，高考試卷中也加大了相應(yīng)的題量與分值。然而，在我國高等數(shù)學(xué)教育專業(yè)課程所講的高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的研究對象、研究方法都有本質(zhì)的不同，學(xué)生所學(xué)與畢業(yè)之后所教聯(lián)系不上，“居高”不能“臨下”。另外，新一輪課程改革對中學(xué)數(shù)學(xué)也提出了許多新的課題，如問題解決、數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)立、數(shù)學(xué)活動的設(shè)計、開放題的教學(xué)、研究性學(xué)習(xí)等[2，3]。如何加強(qiáng)高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)之間的銜接，如何真正發(fā)揮高等數(shù)學(xué)對初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用，成為當(dāng)前迫切要解決的任務(wù)。本文擬從“高觀點”研究初等數(shù)學(xué)問題的實踐意義展開討論，以期在高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)之間架起一座橋梁，真正發(fā)揮高等數(shù)學(xué)對初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用。

1 大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對研究初等數(shù)學(xué)至關(guān)重要

1.1 有利于疑難問題的深入研究和復(fù)雜問題的簡單化

中學(xué)數(shù)學(xué)雖然較高等數(shù)學(xué)簡單，但同樣涉及一些數(shù)學(xué)本原的問題，這些問題要在中學(xué)數(shù)學(xué)知識體系內(nèi)給出圓滿的回答并不容易，往往需要根據(jù)更能反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的高等數(shù)學(xué)的觀點和知識才能說清楚，以下試舉幾例。

例1，方程的本質(zhì)是什么？

分析：在初等數(shù)學(xué)中，我們可能沒辦法來回答這個問題，事實上，方程就是使命題為真的真值集合。在此意義上看，矛盾方程、條件方程、恒等式三者邏輯含義完全一樣，解方程也是數(shù)系擴(kuò)充的原動力之一。

例2，復(fù)數(shù)無法比較大小。

分析：在初等數(shù)學(xué)課程中，只介紹了復(fù)數(shù)是無法來比較大小，并沒有給出解釋。然而作為初等數(shù)學(xué)研究者，我們可以借助高等知識來回答。

復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b為實數(shù))

(i)當(dāng)b=0時，z為實數(shù)，可以比較大小；

(ii)當(dāng)b≠0時，z為虛數(shù)(a=0時為純虛數(shù))，不能比較大小。

數(shù)學(xué)上所謂大小的定義是，在(實)數(shù)軸上右邊的比左邊的大。而復(fù)數(shù)的表示要引入虛數(shù)軸，在平面上表示，所以也就不符合關(guān)于大和小的定義。而且定義復(fù)數(shù)的大小也似乎沒有什么意義。事實上，我們可以利用復(fù)變函數(shù)論的知識來解釋清楚為什么不能在復(fù)數(shù)域上定義大小關(guān)系，同時也讓我們產(chǎn)生新的思考：究竟該如何定義一個數(shù)集的序關(guān)系呢？帶著這個疑問，我們才能進(jìn)一步地探究更專業(yè)的數(shù)學(xué)知識。由此可見，對初等數(shù)學(xué)問題的追問恰恰是對高等數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣的動力所在。

例3，求和問題。

求和問題是初等數(shù)學(xué)中較為常見的問題，解題時，如能結(jié)合微分法，能使這類問題簡化。

證明[7]

(1)

(2)

用初等方法證明如下：

左邊

=右邊

這里

是已知的，用高等數(shù)學(xué)分析證明如下：

仔細(xì)觀察左邊，它與

(3)

取x=1即得

即(1)式成立；取x=-1時,(2)式成立。

這一問題還可進(jìn)一步地追問：什么樣的數(shù)列求和可以考慮用逐項求導(dǎo)的辦法？要回答這一問題，就必須利用微積分里的函數(shù)項級數(shù)的相關(guān)知識。這也讓我們看出，每個簡單初等數(shù)學(xué)問題的背后都有著復(fù)雜的高等數(shù)學(xué)背景。

1.2 有利于數(shù)學(xué)思想方法的挖掘與應(yīng)用

數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識是數(shù)學(xué)的兩大支柱。數(shù)學(xué)思想方法可分為三個層次：

(1)較低的層次。固定模式或一定技巧的數(shù)學(xué)方法，配方法、換元法、待定系數(shù)法、判別式法、割補(bǔ)法等。

(2)較高層次。帶有一般性的數(shù)學(xué)邏輯方法或思維方法，分析法、綜合法、歸納法、反正法等。

(3)更高層次。公理化思想方法、轉(zhuǎn)換與化歸的思想方法、函數(shù)與方程思想方法、分類討論思想方法等。

如果我們只是停留在初等數(shù)學(xué)的研究層面和知識框架內(nèi)，就很難領(lǐng)悟和探討數(shù)學(xué)思想方法傳授的一般規(guī)律和方法，不能主動、有效地培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生對數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)直覺和數(shù)學(xué)意識。只有從更高的層次去俯視數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)特征和知識脈絡(luò)，才能巧妙自然地把數(shù)學(xué)的基本思想方法用最合適的方法和最精當(dāng)?shù)乃夭谋憩F(xiàn)出來，才能達(dá)到“潤物細(xì)無聲”的效果。

1.3 有利于深入分析中學(xué)教材體系

鉆研教材分高、低兩個層次。

低層次：掌握教材的組織系統(tǒng)(內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、邏輯聯(lián)系)；

高層次：針對教材現(xiàn)狀，對教材改革與更新提出合理化建議。

掌握必要的高等數(shù)學(xué)知識，才能看清數(shù)學(xué)改革和發(fā)展的走向，才能對課程改革和教學(xué)改革做到心中有數(shù)，才能用科學(xué)的思想和科學(xué)的手段去扎實有效地開展工作，而不是根據(jù)主觀猜測和單純的教學(xué)經(jīng)驗去規(guī)劃中學(xué)數(shù)學(xué)改革的步驟。試舉例如下：

例4，如何改造平面幾何？

兩個參考體系：以柯爾莫哥洛夫的《幾何》教材的公理系統(tǒng)和張景中以面積為核心的幾何體系。其中柯氏幾何以距離為原始概念，距離所滿足的三條性質(zhì)作為公理，在集合概念基礎(chǔ)上建立起度量空間，逐步引入各種合同變換與相似變換，構(gòu)成歐氏幾何。它的優(yōu)點是將公理化與變換群觀點有機(jī)結(jié)合在一起，鮮明地反映現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想；缺點是過于抽象，只有在掌握了必要的高等數(shù)學(xué)知識，才能科學(xué)、系統(tǒng)地討論平面幾何教材改革的整體構(gòu)思與知識點的安排。

1.4 有利于高屋建瓴地看待初等數(shù)學(xué)中的具體問題

在初等數(shù)學(xué)教育實踐的過程中，常常發(fā)生為了一個初等數(shù)學(xué)問題爭執(zhí)不休的現(xiàn)象，大家各自從自身對數(shù)學(xué)的理解出發(fā)給出不同的說法，似乎難有定論。而很多情況下，只要我們利用高等數(shù)學(xué)這一有效武器，就可以輕易說清楚問題的實質(zhì)，從而達(dá)到統(tǒng)一認(rèn)識，深化對數(shù)學(xué)本質(zhì)理解的目的，也避免了無謂的爭論。

例5，為什么要把0劃歸為自然數(shù)？

常見解釋：

一是社會的發(fā)展需要。建國初，我國由于受國外一些國家的影響，當(dāng)時的中小學(xué)教材一直規(guī)定自然數(shù)不包括0。可是，目前一些發(fā)達(dá)國家都規(guī)定0也是自然數(shù)(最先由法國發(fā)起)。為了國際交流的方便，1993年《中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)》也隨之規(guī)定自然數(shù)包括0。

二是0的功能。氣溫上，0度結(jié)冰；刻度尺上，0是測量的起點；通訊電話，加0就通長途；古人打獵，空手而歸，應(yīng)記上0(記了0就表示人上過山，獵物沒打到，責(zé)任在人；沒記0，就可能是天下雨人沒上山，責(zé)任在天)。

三是現(xiàn)實的必需。0在現(xiàn)實生活中用得更多，錢取完了電腦要打出0，手機(jī)計時到晚上12：00要顯示0，新購的水表、電表、氣表要顯示0，……

實際上上述各種解釋都沒有涉及到數(shù)學(xué)本身的內(nèi)在要求，只是圍繞實際現(xiàn)象做文章，難免顯得缺乏說服力。我們可以嘗試著從自然數(shù)理論和公理集合論的觀點出發(fā)，對此問題做出回答。

真正理由

第一，0不是自然數(shù)時，其基數(shù)功能不完整；

第二，把0作為自然數(shù)，不會影響其“序數(shù)功能”與“運算功能”；

第三，0的出現(xiàn)可以保證自然數(shù)集有單位元。a+0=0+a=a；

因而，只有系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了高等數(shù)學(xué)知識，才能將這一問題回答清楚。

最后，我們再來看一道小學(xué)數(shù)學(xué)題：

例6，填空：1，4，7，10，____？

答：13.

疑問：答案惟一嗎？可以是任意數(shù)嗎？如果回答是肯定的，那么如何寫出反映數(shù)組規(guī)律的通項公式呢？這一問題在小學(xué)數(shù)學(xué)的框架內(nèi)很難得到滿意的回答，而利用高等數(shù)學(xué)的知識，我們由拉格朗日插值法可知：

由上述公式可知，本例中的橫線處可填寫任意實數(shù)，這樣的數(shù)學(xué)解釋顯得具體、有力。

2 一個優(yōu)秀的初等數(shù)學(xué)教育者必須精通高等數(shù)學(xué)

高等數(shù)學(xué)不僅是高等師范院校的學(xué)生必須要掌握的課程，它對初等數(shù)學(xué)教育工作者同樣至關(guān)重要。高度決定視野，角度決定方向。初等數(shù)學(xué)教育工作者更應(yīng)不斷地學(xué)習(xí)理解高等數(shù)學(xué)知識，才能高屋建瓴地指導(dǎo)初等數(shù)學(xué)，才能找出初等數(shù)學(xué)問題的高等數(shù)學(xué)背景。

思考：這個不等式從何而來？事實上由以下證法即可看出該不等式的由來。

因而，sinx

例8，2001年全國高考題20題：設(shè)m,n為正整數(shù)且n>m,證明(1+m)n>(1+n)m。

證：用初等方法比較繁瑣，要用到二項式定理。事實上，對(1+m)n>(1+n)m兩邊取對數(shù)，

nln(1+m)>mln(1+n)，

即證

對f(x)求導(dǎo)

因而，原題得證。

做一名合格的中學(xué)數(shù)學(xué)老師,則必須精通高等數(shù)學(xué)知識,不斷學(xué)習(xí)充實自己,才能更好地為學(xué)生服務(wù),培養(yǎng)出適合社會需要的優(yōu)秀人才。同時還需要加強(qiáng)數(shù)學(xué)教研能力的培養(yǎng)，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容,介紹與初等數(shù)學(xué)相關(guān)的新成果和課題,以及研究初等數(shù)學(xué)的基本方法,讓學(xué)生了解或適當(dāng)參與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革,培養(yǎng)他們對數(shù)學(xué)教育研究的能力。在初等數(shù)學(xué)類課程教學(xué)或?qū)ｎ}講座中,可適當(dāng)?shù)亟榻B一些與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的研究成果,當(dāng)前教改的熱點課題,以及常用的研究方法,推薦一些優(yōu)秀的期刊、書籍,引導(dǎo)學(xué)生運用高等數(shù)學(xué)的思想、方法、知識,對初等數(shù)學(xué)進(jìn)行探討。這樣既培養(yǎng)了學(xué)生的科研能力,又激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。使他們感受到一種作為21世紀(jì)合格教師的緊迫感,迫使他們繼續(xù)深造、進(jìn)修,關(guān)注中學(xué)正在進(jìn)行的教學(xué)改革。

3 結(jié)語

從高師數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)教育專業(yè)培養(yǎng)的目標(biāo)來看,無論它開設(shè)什么樣的課程,其目的都是要使學(xué)生通過對這些課程的學(xué)習(xí),具備中學(xué)數(shù)學(xué)教師的基本素質(zhì)，使其走上工作崗位后,能盡快地適應(yīng)中學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)工作[4，5]。因此,高等數(shù)學(xué)類、初等數(shù)學(xué)類、教育類的課程的學(xué)習(xí),都是為了更好地指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)。初等數(shù)學(xué)類的課程,由于其內(nèi)容比較接近中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容,所以可用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點去解剖初等數(shù)學(xué)的基本概念和問題,揭示出蘊含在數(shù)學(xué)知識中的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法,了解它們形成、發(fā)展的規(guī)律以及與數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的內(nèi)在聯(lián)系,幫助學(xué)生去分析、體會教材。對于高等數(shù)學(xué)類的課程,由于其內(nèi)容與中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容差異較大,因此要根據(jù)本學(xué)科的特點,尋找高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的結(jié)合點,引導(dǎo)學(xué)生用本學(xué)科的思想、方法、知識,從不同角度去審視初等數(shù)學(xué),解決初等數(shù)學(xué)中一些與其相關(guān)的內(nèi)容[6，7]。總之要學(xué)會運用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法在高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)之間架起橋梁,真正發(fā)揮高等數(shù)學(xué)對初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用。

[1]F.克萊因.高觀點下的初等數(shù)學(xué)[M].舒汀芹，譯.武漢：湖北教育出版社,1980：37～40.

[2]唐復(fù)蘇,鮑建生.中學(xué)數(shù)學(xué)現(xiàn)代基礎(chǔ)[M].北京：人民教育出版社,2001：79～83.

[3]胡炳生.現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點下的中學(xué)數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社,1981：112～117.

[4]邵瑞珍.教育心理學(xué)[M].上海：上海教育出版社,1992：204～205.

[5]沈文選.初等數(shù)學(xué)研究教程[M].長沙：湖南師范大學(xué)出版社,1995：134～136.

[6]張勁松.“高觀點下的初等數(shù)學(xué)”功能分析[J].湖北大學(xué)成人教育學(xué)院學(xué)報,2004,(2)：22～25.

[7]王冰潔.高觀點下初等數(shù)學(xué)問題的解決[J].白城師范高等學(xué)校學(xué)報,2002,(5)：48～52.