微積分學在經濟分析中的應用

賴 滿 瑢

(廈門南洋職業學院，福建 廈門 361000)

在紛擾復雜瞬息萬變的經濟現象中揭示其背后深刻的經濟原理離不開高等數學。而微積分是高等數學的核心,也是與經濟學聯系最緊密的紐帶，是學好經濟學的基礎,在經濟分析中具有重要的應用。

1 導數在經濟分析中的應用

1.1 最優化分析

在工農業生產、科學技術研究、經營管理及實際生活中, 常常會碰到如何做才能使“產量最高”、“材料最省”、“耗時最少”、“效率最高”、“利潤最大”、“成本最低”、“面積最大”等最優化問題，這些問題均為數學問題,即求函數的最大值和最小值問題。

在經濟學中,平均成本曲線一般如上圖所示的形狀,因此平均成本函數有最小值問題。

例：設某企業的總成本函數為C=C(Q)=0.3Q2+9Q+30,試求

(1)平均成本最低時的產出水平及最低平均成本;

(2)平均成本最低時的邊際成本, 并與最低平均成本作比較。

(2)邊際成本函數為:MC=0.6Q+9

平均成本最低時的產出水平Q=10，這時的邊際成本為:MC|Q=10=0.6×10+9=15

綜上可知,平均成本最低時的邊際成本與最低平均成本相等,都為15.

上述結果不是偶然的,在產出水平Q能使平均成本最低時,必然有平均成本等于邊際成本。

1.2 邊際分析

對經濟學中的函數而言, 因變量對自變量的導數稱為“邊際”。它表示自變量增量為1個單位時，因變量的增量就是邊際量。邊際分析法就是分析自變量變動1個單位時，因變量會變動多少的方法。

(1)邊際需求。需求函數Q=Q(p)(p為價格)的導數Q′(p)稱為價格為p單位時的邊際需求。邊際需求Q′(p)表示當價格為p時，價格上漲1個單位，需求量將改變Q′(p)個單位。

如果ML>0，即MR>MC，邊際收益大于邊際成本，表明在產量為Q時再生產1個單位產品多帶來的收益增加量大于再生產1個單位產品多帶來的成本增加量。這時，增加產出是有利的，可以使利潤增加。

如果ML<0，即MR

如果ML=0，即MR=MC，邊際收益等于邊際成本，表明在產量為Q時再生產1個單位產品多帶來的收益增加量等于再生產1個單位產品多帶來的成本增加量。這時不再調整產量，利潤達到最大，即實現了利潤最大化。此時的產量為最佳生產量。

2 彈性分析在經濟分析中的應用

彈性分析也是經濟分析中常用的一種方法,主要用于對生產、供給、需求等問題的研究。彈性概念用來定量描述一個經濟變量對另一個經濟變量的變化的相對反應速度。

一般情況下, 因Q=Q(p)為單調減函數,所以Ed<0.其經濟意義:在價格為p時,如果價格提高或降低1%,需求由Q起,減少或增加的百分數是|Ed|。當|Ed|<1時,稱需求是低彈性的;當|Ed|>1時,稱需求是高彈性的;當|Ed|=1時,稱需求是單位彈性的。

例：設某商品的需求函數為Q=100-10p,試求:

(1)需求價格彈性Ed;

(2)當p=2,5,6時的需求價格彈性, 并作出經濟解釋。

(2)當p=2時,Ed=-0.25,需求是低彈性的；而當p=2時,Q=40.這說明:在價格p=2時,若價格提高(降低)1%,需求Q將由40起減少(增加)0.25%。這時,需求下降(提高)的幅度小于價格提高(降低)的幅度。

當p=5時,Ed=-1,需求是單位彈性的；而p=5時,Q=25.這說明:在價格p=5時,若價格提高(降低)1%,需求Q將由25起減少(增加)1%，這時,需求下降(提高)的幅度等于價格提高(降低)的幅度。

當p=6時,Ed=-1.5,需求是彈性的;而p=6時,Q=20.這說明:在價格p=6時,若價格提高(降低)1%,需求Q將由20起減少(增加)1.5%.這時,需求下降(提高)的幅度大于價格提高(降低)的幅度。

經濟領域中的任何函數都可類似地定義彈性，比如需求收入彈性、供給價格彈性等。

3 定積分在經濟分析中的應用

3.1 已知邊際函數或變化率，用定積分計算產量由a到b時原來函數的改變量

例：設生產某產品的邊際成本為MC=3(萬元/件)，邊際收入為MR=18-0.06x，若在最大利潤的基礎上再生產30件產品，利潤會發生什么變化？

解：該產品的邊際利潤為

L′(x)=MR-MC=18-0.06x-3=15-0.06x

令L′(x)=0，即15-0.06x=0，得惟一的駐點x=250；所以產量為250件時，利潤最大，在最大利潤的基礎上再生產30件產品，利潤的改變量為

即最大利潤的基礎上再生產30件產品，利潤會減少27萬元。

3.2 已知邊際函數或變化率，用定積分求原來的函數

例：已知某商品每周生產x單位時，總費用的變化率是f(x)=0.4x-12(元/單位)，求總費用F(x)。

即銷售x單位商品得到的總收入為R(x)=20x。

3.3 資本現值與投資問題

若現有a元貨幣，按年利率為r作連續復利計算，則t年后的價值為aen元；反過來，若t年后有貨幣a元，則按連續復利計算，現應有aen元，即資本現值。

純收入的貼現值=總收入現值-總投資

例：若連續3年內保持收入率每年7500元不變，且利率為7.5%,問其現值是多少？

資本形成、收入預測都可以用這種方法計算獲得。

4 微分方程在經濟分析中的應用

為了研究經濟變量之間的聯系及其內在規律常需要建立某一經濟函數及其導數所滿足的關系式,并由此確定所研究函數形式,從而根據一些已知的條件來確定該函數的表達式。在數學上就是建立微分方程并求解微分方程。利用微分方程可以分析商品的市場價格與需求量(供給量)之間的函數關系，預測可再生資源的產量,預測商品的銷售量，分析關于國民收入、儲蓄與投資的關系問題等。

例：某年我國的國民生產總值(GDP)為80423億元，如果我國能保持每年8%的相對增長率，問到11年后我國的GDP是多少？

解：建立微分方程：設第t年我國的GDP為P(t)，t=0代表起始年。

5 多元函數偏導數在經濟分析中的應用

5.1 邊際經濟量

偏導數也就是邊際函數，它與一元函數的導數有著同樣的經濟意義。

例：設某一商品的市場需求受到商品的價格x與企業的廣告投入y這兩個因素的影響，其需求函數為Q(x,y)=6000-8x+50y+2xy-y2-x2。

5.2 偏彈性

就一元函數而言，需求的價格彈性是用來度量當價格變化時所引起的需求反應，即價格變動1%時，需求變動的百分數。對多元函數，同樣也如此。

設有兩種相關商品的需求函數為QA=QA(PA,PB)和QB=QB(PA,PB)。

直接價格偏彈性又稱為自身價格偏彈性。

交叉價格彈性是度量某種商品對另一種商品價格變化而產生的需求的反應，對于兩種和多于兩種商品的需求之間關系的度量是有用的。

若EAB>0或EBA>0，說明兩種商品是互相競爭的(或者互相取代的)；

若EAB<0或EBA<0，說明兩種商品是互相補充的。

因為A和B是“相互”的關系，所以只要EAB和EBA其中一項為正，即可判定是相互競爭的關系；同樣，只要EAB和EBA其中一項為負，即可判定是相互補充的關系。

[1]侯風波.經濟數學[M].上海：上海大學出版社，2010.

[2]吳傳生.經濟數學——微積分[M].北京:高等教育出版社,2003.

[3]盧達平.《微積分》在經濟管理中的應用[J].龍巖學院學報,2006,(6):109～111.

[4]楊麗賢，等.談高等數學理論在經濟領域中的應用[J].長春大學學報,2006,(12):20～22.