淺談歐拉公式的成因

鄭 玉 敏

(黑龍江生態工程職業學院，哈爾濱 150025)

函數的冪級數展開式，因其具有規范的形式和特殊的性質，不只在近似計算中有廣泛的應用，而且還可以利用它得到數學領域中一些重要的公式。這里借助函數的冪級數展開式，推導一個重要的公式——歐拉公式。

1 理論依據

(1)

成立的充分必要條件是：在該區間內，

(2)

(1)式右邊的級數稱為f(x)在點x=x0處的泰勒級數。

定理2：如果函數f(x)能在某個區間內展開成冪級數(1)，則這個冪級數是唯一的。

注：上述定理中的x可以推廣到復數域中。

2 預備公式

2.1 將函數f(x)=ex展開成x的冪級數

對于任何有限數x，ξ(ξ介于0與x之間)，有

(3)

2.2 將函數f(x)=sinx展開成x的冪級數

對于任何有限數x，ξ(ξ介于0與x之間)，有

(4)

2.3 將函數f(x)=cosx展開成x的冪級數

解：利用冪級數的運算性質，對展開式(4)逐項求導，得

(5)

3 歐拉公式的形成

(3)式中的x推廣到復數域，考察復數項級數

可以證明，此級數在復平面上是絕對收斂的，它的和為ez，即

特別地，當z=ix(x為實數)時，可得

=cosx+isinx

即eix=cosx+isinx(-∞

(6)

(6)式中以-x代替x得

e-ix=cosx-isinx(-∞

(7)

(8)

上式(6)、(7)、(8)均叫做歐拉公式，它揭示了三角函數與復變量指數函數之間的關系。

特別的上式(6)中令x=π即得到著名的歐拉公式

eiπ+1=0

這個公式被認為是數學領域中最優美的結果之一，很多人認為它具有不亞于神的力量，因為它在一個簡單的方程中，把算術基本常數(0和1)、幾何基本常數(π)、分析常數(e)和復數(i)聯系在了一起。

[1]吳贛昌.高等數學[M].北京：中國人民大學出版社，2006.

[2]楊曉東.應用數學基礎[M].北京：兵器工業出版社，2008.