一端固定一端自由的受壓桿件的拓撲優化

宋其偉，邊炳傳

(1.山東泰安恒基置業發展有限公司，山東泰安 271000;2.泰山學院建筑與機械工程系，山東泰安 271021)

1 引言

受壓桿件的穩定問題(屈曲問題)即當細長桿件受到軸向壓力的作用下會不會彎曲的問題.在進行桿件的結構設計時，不僅要考慮桿件的強度、剛度，還必須要充分地考慮到受壓桿件的穩定問題.其中，一端固定一端自由的受壓桿件是壓桿穩定中的一種重要形式.當前，對受壓桿件穩定的優化研究工作主要有:D.Manickarajah［1］等研究了考慮屈曲的桿件與框架的優化問題;郭旭等［2］研究了桁架在屈曲載荷約束下的全局穩定性拓撲優化;榮見華等［3］運用ESO方法研究了框架在承受最大臨界屈曲載荷情況下的截面優化;彭興黔［4］研究了兩端彈性鉸支約束下受壓桿件穩定的優化設計，采用拉格朗日乘子法，求得受壓桿件在彈性鉸支約束下，截面優化分布規律和撓曲函數的表達式，并給出計算臨界荷載的統一公式;鄒文勝等［5］考慮壓桿穩定性的桁架拓撲優化設計.綜上所述，多數研究集中在了桁架的拓撲優化設計，只研究了桁架中受壓桿件的去留問題，并未對具體受壓桿件的拓撲結構進行優化設計.本文對一端固定一端自由的受壓桿件穩定利用獨立、連續、映射［6－7］的方法進行拓撲優化設計，取得了較為理想的拓撲優化結果.

2 建立受壓桿件模型

受壓桿件穩定的約束形式有多種，在本文中主要研究以一端固定，一端自由的大撓度受壓細長桿件，在Patran軟件平臺上建立受壓桿件的虛擬模型，受壓桿件的截面半徑為20mm，高度為1440mm的長圓柱，彈性模量E=210×103MPa，泊松比v=0.3，密度ρ=7.8×10－6kg/mm3，分布力P=20010N，作用于上端圓截面的節點上，由于上端圓截面施加分布力，所以頂層單元為保留單元，其余為設計區域.下邊界采用固定支撐力，上端部施加分布力，劃分3072個8節點體單元，基結構重量為13.75kg，如圖1所示.

根據材料力學［8］壓桿穩定的知識，可以得到屈曲臨界力的大小為:P=n2π2EI/L2(n=0，1，2，…).

圖1 有限元模型

如果，兩端采用不同的鉸支形式，且當n=1時，壓力為最小值，則可以得到臨界壓力的歐拉公式普遍形式:Pcr=π2EI/(μL)2，其中，μ為長度系數.

利用有限元方法建立以臨界力為約束受壓桿件穩定的拓撲優化模型.其中以結構重量最小為目標，屈曲臨界力為約束的連續體拓撲優化模型:

其中臨界屈曲載荷由屈曲分析的特征值方程得到，屈曲分析的特征值方程為:

模型中的公式:fw(ti)，分別為單元重量、單元剛度陣、單元幾何陣的過濾函數.公式中t為拓撲設計變量，a，b分別為冪指數，在本文中取a=1，b=3.3.

3 數學模型的求解

令a/b=β，則上式變為fw(ti)，目標函數變為:

由于目標函數是非線性的，對目標函數進行二階泰勒近似展開，并略去常數項得到:

對優化模型中的約束進行處理，需要對約束進行泰勒展開，需要求臨界屈曲力對xi求偏導數得:

又因為屈曲臨界力由下式表示:

而剛度陣與幾何陣表示為:

臨界屈曲力對xi求偏導數可以表示為:

將約束用一階泰勒展式近似展開:

其中上標k指第k次迭代的值.

對λj≤約束有:

采用對偶理論將上述模型轉化為對偶規劃:

其中，W(k)及W(k+1)為前輪與本輪迭代的結構總重量，ε為收斂精度，本文取ε=0.001.

4 拓撲優化結構結果討論

為確定臨界屈曲載荷的上限，需要首先對結構進行屈曲分析.由于2階、4階屈曲模態分別與1階、3階相同，只是變形方向有所不同，所以在此只分別研究受壓桿件的1階、3階、5階的屈曲模態.對壓桿模型進行屈曲分析，得到1階屈曲因子ζ1=1.588，1階屈曲臨界力λ1=31775.88N;3階屈曲因子ζ3= 14.301，3階屈曲臨界力λ3=286163.01N;5階屈曲因子ζ5=39.776，5階屈曲臨界力λ5=795917.76N.

從圖中可以看出，圓形截面的受壓桿件在半徑方向發生屈曲變形可能性是相同的，所以拓撲結構在圓周徑向上具有一致性.拓撲結構在發生變形的端部材料去除比較多，產生瓶頸結構;同時發現1階屈曲模態的拓撲結構中的撓曲線與兩端鉸支、長為2倍的壓桿的撓曲線的上半部相同，驗證了歐拉公式中的長度系數.

［1］D.Manickarajah，Y.M.Xie，G.P.Steven.Optimisation of columns and frames against buckling［J］.Computers and Structures，2000，75:45－54.

［2］X.Guo，G.D.Cheng，N.Olhoff.Optimum design of truss topology under buckling constraints［J］.Struct Multidisc Optim，2005，10: 158－162.

［3］J.H.Rong，Y.M.Xie，X.Y.Yang.An improved method for evolutionary structural optimisation against buckling［J］.Computers and Structures，2001，79:253－263.

［4］彭興黔.兩端彈性鉸支約束下壓桿穩定的優化設計［J］.華僑大學學報(自然科學版)，2002，23(1):45－49.

［5］鄒文勝，左正興，廖日東，文占科.考慮壓桿穩定性的桁架拓撲優化設計［J］.北京理工大學學報，1999，19(1):29－33.

［6］隋允康.建模·變換·優化——結構綜合方法新進展［M］.大連:大連理工大學出版社，1996.

［7］邊炳傳，隋允康.多約束作用下連續體結構的拓撲優化［J］.計算力學學報，2010，27(5)，781－788.

［8］劉鴻文.材料力學［M］.北京:高等教育出版社，1992.