談“天體問題”中幾個疑難問題突破的教學處理

丁海鋒

(杭州第七中學 浙江 杭州 310024)

1 問題的提出

物理難學是長期存在的一個不爭事實.在“萬有引力與航天”一節的“天體問題” 中有不少讓學生感到困惑、甚至迷惘的疑難問題，而疑難問題是影響教學效果的重要因素.教學中，為了追求考試分數，許多教師在講解疑難問題時往往過分強調對知識結果的記憶及操練，而不重視知識的產生、形成過程，不重視知識間的引申與遷移，以致經常發出諸如“這問題已經做了好多次，也講了好多次,為何還不會”的感慨.筆者認為在講解疑難問題時應思考以下幾個問題:如何恰當地把握問題難度，既有利于培養學生的思維能力，又不會脫離學生的實際認知水平？學生解決某些問題困難重重，其難點何在？如何對癥下藥？找到題目的難點所在，又怎樣對學生加以指導？

2 疑難問題剖析的策略

順利剖析疑難問題的關鍵是能否構建一個科學、合理的認知結構，使學生對物理知識融會貫通、舉一反三，對方法、途徑駕輕就熟、運用靈活.這就要求教師備課時，能夠深入思考疑難的成因和癥結所在，找到解決疑難的策略，突破教學上的難點，從而化難為易.以下是天體問題中三個較為典型的疑難問題，筆者采用如下教學處理，取得了良好的效果.

2.1 由于物理知識層面的受限而造成的疑難

【例1】關于第一宇宙速度，下列說法正確的是

A.它是人造地球衛星繞地球運行的最小速度

B.它是人造地球衛星在近地軌道運行的最大速度

C.它是人造地球衛星進入近地軌道的最小發射速度

【例2】關于航天飛機與空間站對接問題,下列說法正確的是

A.先讓航天飛機進入較低的軌道,然后再對其進行加速,即可實現對接

B.先讓航天飛機進入較高的軌道,然后再對其進行加速，即可實現對接

C.若要從空間站的后方對接,應先讓航天飛機與空間站在同一軌道上,然后讓航天飛機加速,即可實現對接

D.若要從空間站的前方對接,應先讓航天飛機與空間站在同一軌道上,然后讓航天飛機減速，即可實現對接

這兩題是典型的易錯題，第一題主要是學生不清楚發射速度與環繞速度的區別；第二題是兩個航天器交會對接問題.分析出錯原因主要是學生盲目利用高低軌的速度關系人為對號入座造成錯誤認識.造成兩題疑難的根源是衛星引力勢能表達式的知識受限，從而對衛星在空中的機械能無法比較，不清楚天體在空中的能量問題才是學生心頭最大的障礙.

解決策略是以信息題的形式引入引力勢能表達式加以過渡，給學生架設知識關聯臺階.

【例3】取距離地球無窮遠處物體的重力勢能為零，則地球周圍物體的重力勢能的表達式為Ep=

(1)質量為m的衛星繞地球做半徑為r的勻速圓周運動時的總機械能；

(2)衛星再補充多少能量可使它脫離地球引力.

解析： (1)衛星做勻速圓周運動，由萬有引力公式和牛頓定律得

衛星動能為

(1)

衛星勢能為

(2)

衛星機械能為

(3)

(2)要使繞地球運動的衛星掙脫地球的引力，需添加的能量是

成功引入引力勢能,從而使學生能夠從定量上比較高、低軌天體的機械能，讓學生在獲得知識的同時體驗過程.為了讓學生更容易、更淺顯地掌握這個疑難問題，筆者設計了一個符合學生認知的淺層次模型，如圖1所示.

圖1

(1)小球在一些不同高度的水平軌道運動代替衛星圓軌道(第1軌道為地表軌道)運轉，且機械能守恒.

(2)從例3中遷移來的結論：對同一天體來說，一個空間軌道對應一個能級，越是高軌勢能越大，機械能越大，動能越小(與氫原子能級極為相似，但天體軌道不是量子化的).

學生應用此模型就比較好理解發射速度和環繞速度的區別和聯系.利用淺層次模型就容易多了.例1選B,C，例2選A.其實例2可以再深化下去，讓學生思考為什么航天器不從高軌減速跌進低軌進行對接，不僅僅從有利于地面控制對接角度考慮，也可以從完成對接的整體能量代價來考慮.先是跑高能外軌道做減速，然后再跑到低能級軌道對接，這種做法浪費能量，是很不合算的做法啊.

總之，有了引力勢能這個知識認知的緩沖帶，學生理解起來就容易多了，并且掌握得很好.看似引入引力勢能的概念增加學生的學習負擔，其實剛好相反.引入引力勢能只不過是一個載體，我們關注的不是其本身而是在于利用其科學嚴密的推導來疏通學生心中的疑惑.

2.2 由于數學知識層面的受限而造成的疑難

【例4】如圖2所示，衛星繞地球做橢圓軌道運動．衛星在近地點A時，距地心距離為RA，運行速度為vA；衛星在遠地點B時，距地心距離為RB，運行速度為vB．則下列關系式正確的是

圖2

這道題目在平時的訓練中，學生經常做錯.學生的解法如下：

(4)

(5)

由(4)、(5)式可得

故選D.

解決策略：引入曲率半徑知識化疑難，讓學生另辟蹊徑解題.

教師在講解天體做橢圓運動時，應該注意以下兩點：

(1)衛星做橢圓軌道運動時，萬有引力等于向心力的關系已不普遍成立,而應當是萬有引力沿軌道法線的分力等于向心力．

(2)只有在A，B兩點，萬有引力是沿軌道法線方向的，此時萬有引力剛好等于向心力．但在A點和B點軌道半徑不是RA和RB，應是軌道上A，B兩點的曲率半徑．由高等數學知識可求得A，B兩點的曲率半徑相同為

也可表示為

解：設地球和衛星的質量分別為M，m，由牛頓第二定律有

和

由以上各式可解得

當然也可由曲率半徑分別求出A，B兩點的速率

和

解得

所以答案為C.

學生理解了曲率半徑后，就會自覺回避以上數學解法而采用開普勒第二定律結合微分思想的解法.如圖3所示，設在一極短的相等Δt時間內分別經過A,B兩地，可看做勻速率運動，則有

同樣可解得

圖3

【例5】發射地球同步衛星時，先將衛星發射至近地圓軌道1，然后經點火，使其沿橢圓軌道2運行，最后再次點火，將衛星送入同步圓軌道3.軌道1，2相切于A點，軌道2，3相切于B點，如圖4所示.則衛星分別在1，2，3軌道上正常運行時，以下說法正確的是

圖4

A．衛星在軌道1上經過A點時的速率小于它在軌道2上經過A點時的速率

B．衛星在軌道1上經過A點時的加速度大于它在軌道2上經過A點時的加速度

C．衛星在軌道2上經過B點時的速率大于它在軌道2上經過B點時的速率

D．衛星在軌道2上經過B點時的加速度等于它在軌道3上經過B點時的加速度

此題正確答案是選項A，D.

學生在不知曲率半徑的前提下始終存在兩個疑問：(1)為什么同一點速率不相同？(2)為什么同一點速率不相同但加速度(向心加速度)又相同？

首要任務是化解學生的疑問，而不是直接用另外的求法得到正解而回避學生的疑問；這樣只會造成學生死記硬背，增加學習負擔，問題情結仍得不到有效解決.遮遮掩掩還不如引入曲率半徑的概念合理說明并加引導，學生明理后自然會另辟蹊徑.

解：因為1軌道的圓半徑為RA，而2軌道在A處的曲率半徑為

因為

RA

所以

RA<ρ

設衛星經過軌道1，2上A點時的速率、加速度分別為vA1，vA2，aA1，aA2，經過軌道2，3上B點的速率、加速度分別為vB2，vB3，aB2，aB3.

根據

和

易知

vA1

同理也知

vB2

加速度方面：A，B兩處是兩軌道的公共點，具有相同的萬有引力，并且全部為衛星運動的法向量，即萬有引力全部提供向心力，所以這兩點上有物體的加速度和向心加速度相同的特點.有

和

故

aA1=aA2

同理

只有這樣在平時推導驗算過才會打消學生上述兩個疑慮.學生會不由自主的發出驚嘆，原來都是曲率半徑惹得禍.起點很高當然最終落點還是要低.學生應掌握的解法是首先應定性從離心和向心方面得出速度的大小關系,再結合牛頓第二定律很快得出加速度的大小關系.因同一位置恒星所受F引相同，加速度a也必相等.

有了數學工具，利用定量計算解決學生心中的疑惑后，引進符合學生認知的淺層次模型即由幾何形狀的各種半徑和曲率半徑關系

可知

RA<ρA

故由

判別變軌的一系列問題可簡化如下：因同一位置加速度相等，則越是外面的軌道(包括橢圓軌道)運動周期T越大，切點的速度越大.

引進曲率半徑也只是解除學生的疑慮，幫助學生了解數學知識在物理中的應用，正確理解物理量的含義和公式的物理關系，了解規律的適用條件和范圍，讓學生在已有的認知水平上理直氣壯地學，從心理上加快認知過程的同化速度.

2.3 由于物理情景極易混淆層面而造成的疑難

【例5】地球赤道上一物體隨地球的自轉而做圓周運動，所受的向心力為F1，向心加速度為a1，線速度為v1，角速度為ω1.繞地球表面附近做圓周運動的人造衛星(高度忽略)所受的向心力為F2，向心加速度為a2，線速度為v2，角速度為ω2.地球同步衛星所受的向心力為F3，向心加速度為a3，線速度為v3，角速度為ω3.地球表面重力加速度為g，第一宇宙速度為v，假設三者質量相等，則

A．F1=F2>F3

B．a1=a2=g>a3

C．v1=v2=v>v3

D．ω1=ω3<ω2

這也是典型的易解錯題，主要是學生往往生搬硬套天體繞地球做圓周運動的結論，沒考慮實際物體所受向心力的來源.造成疑難的根源是物體繞地球運轉的運動形式具有高度的相似性和易混淆性，學生不能清晰的分清彼此聯系和區別.

解決策略是給易混淆雙方各自引入子模型，引導學生進行異同對比，同中求異，異中求同.

教師可分別引入“隨模型”、“繞模型” 兩種運轉模型加以處理.

“隨模型”是指地面上物體隨地球自轉一起做相同角速度的圓周運動模式.主要特點是物體在地面上受萬有引力和地面的支持力的作用，在赤道上這兩個力的合力提供向心力，如圖5所示.

圖5

式中R，M，ω0，T0分別為地球的半徑、質量、自轉角速度以及自轉周期.其實N就是重力的大小，在數值上有

代入數據可估算得三者的數量比例關系

萬有引力∶重力∶向心力≈1 000∶997∶3

“繞模型”是指天體在空中環繞地球做勻速圓周運動模式，主要特點是物體在空中僅受萬有引力一個力提供向心力，可套用天體繞地球運轉的一系列結論或推論.

圖6

例5的情景如圖6所示.F1,F2,F3指向心力，其中物體1是隨模型，物體2，3是繞模型.首先從物體1和物體2比較，由上面分析可知,向心力

3F2≈1 000F1

則由

F∝aF∝v2F∝ω2

可得

F2>F1a2=g>a1

v2=v>v1ω1<ω2

比較物體1和物體3,因為兩者ω相同，再由圓周運動知識

F∝ra∝rv∝r

則可得到

F3>F1a3>a1

v3>v1ω1=ω3

最后利用推論

比較同為繞模型的物體2和物體3.

F2>F3a2=g>a3

v2=v>v3ω3<ω2

綜上述可得

F2>F3>F1a2=g>a3>a1

v2=v>v3>v1ω1=ω3<ω2

故答案為選項D.

總之，學生在碰到疑難問題時，由于種種原因可能會提出有異于教師的錯誤想法，而這些想法可能正是教師想刻意回避的.這時教師不能堵而要疏.只要從根源上找到造成疑難的成因，通過精心設計和巧妙策略來化釋疑難，注重教學中體現深入淺出的思想，幫助學生順利釋疑的同時讓學生深層次理解物理知識，從而達到非常好的教學效果.