串聯(lián)諧振電路Q值的計(jì)算與意義

楊曉雷

(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院 上海 200234)

在實(shí)際電路中，即使是一個(gè)簡(jiǎn)單的線圈，不僅有電感，還有電阻，不能分割，但可以用集中的電感L與電阻R串聯(lián)電路模型來表示.作為具有代表性的典型模型，經(jīng)常研究電阻、電感、電容串聯(lián)電路.

1 RLC串聯(lián)電路的特點(diǎn)與諧振現(xiàn)象

如圖1所示是由電阻、電感和電容相串聯(lián)所組成的RLC串聯(lián)電路.在此電路中，電容和電感是儲(chǔ)能元件，其中能量的轉(zhuǎn)換是可逆的，而電阻是耗能元件，其中電能單向地轉(zhuǎn)為熱.

圖1 RLC串聯(lián)電路

由電阻R，電感L，電容C與直流電源組成的各種組合電路中，當(dāng)電源由一個(gè)電平的穩(wěn)定狀態(tài)變?yōu)榱硪粋€(gè)不同電平的穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)(如接通或斷開直流電源)，由于電路中電容上的電壓不會(huì)瞬間突變和電感中的電流不會(huì)瞬間突變，這樣電路由一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)變到另一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)中間要經(jīng)歷一個(gè)變化過程，這個(gè)變化過程稱為暫態(tài)過程.利用暫態(tài)過程的規(guī)律可以測(cè)量R，L，C元件的量值，也可用于產(chǎn)生脈沖信號(hào)(如鋸齒波、微分脈沖信號(hào)等).而RLC串聯(lián)電路如果與頻率可調(diào)的交流電源組合后，當(dāng)電源的頻率與RLC串聯(lián)電路的固有頻率相等時(shí)，會(huì)發(fā)生諧振現(xiàn)象.因而暫態(tài)過程的規(guī)律和諧振現(xiàn)象在電磁學(xué)、電子技術(shù)等領(lǐng)域中的用途非常廣泛.

1.1 RLC串聯(lián)電路的特點(diǎn)

從能量變化的角度來說明，由于RLC串聯(lián)電路中存在著兩種不同性質(zhì)的貯能元件，因此它的過渡過程就不僅是簡(jiǎn)單的積累能量和釋放能量，還可能發(fā)生電容的電場(chǎng)能量和電感的磁場(chǎng)能量相互反復(fù)交換的過程，這一點(diǎn)決定于電路參數(shù).當(dāng)電阻比較小時(shí)(該電阻應(yīng)該是電感線圈本身的電阻和回路中其余部分電阻之和)，電阻上消耗的能量較小，而L和C之間的能量交換占主導(dǎo)位置，所以電路中的電流表現(xiàn)為振蕩過程.當(dāng)電阻較大時(shí)，能量來不及交換就在電阻中消耗掉了，使電路只發(fā)生單純的積累或釋放能量的過程，即非振蕩過程.

在RLC串聯(lián)電路中，無論電壓、電流怎樣變化，在任意時(shí)刻，它們?nèi)詰?yīng)該遵守基爾霍夫定律.

1.1.1 電壓與電流的瞬時(shí)關(guān)系

設(shè)在上述電路中通過的正弦交流電流為i=Imsinωt，則

uR=ImRsinωt

u=uR+uL+uC

1.1.2 相量圖(圖2，以電流為參考相量)

圖2 電流與電壓關(guān)系的相量圖

1.1.3 端電壓與電流的關(guān)系

圖3 電壓三角形

(1)大小關(guān)系

1)電壓三角形：電路的端電壓與各分電壓構(gòu)成一直角三角形，叫電壓三角形(圖3).

2)RLC串聯(lián)電路中歐姆定律的表達(dá)式

圖4 阻抗三角形

3)電抗：感抗與容抗之差叫做電抗.用X表示X=XL-XC，單位為Ω.

4)阻抗三角形：如圖4所示，阻抗角φ為|Z|與R兩個(gè)邊的夾角

(2)相位關(guān)系

1)當(dāng)XL>XC時(shí)，端電壓超前電流φ角，電路呈電感性，稱為電感性電路.

2)當(dāng)XL

3)當(dāng)XL=XC時(shí)，端電壓與電流同相，電路呈電阻性，電路的這種狀態(tài)叫串聯(lián)諧振.

1.2 RLC串聯(lián)電路的諧振

在RLC串聯(lián)電路中，當(dāng)電路端電壓和電流同相時(shí)，電路呈電阻性，電路的這種狀態(tài)叫串聯(lián)諧振.諧振是正弦交流電路在特定條件下產(chǎn)生的一種特殊物理現(xiàn)象.諧振現(xiàn)象在無線電和電工技術(shù)中得到廣泛應(yīng)用，研究電路中的諧振現(xiàn)象有重要的實(shí)際意義.交流電路的諧振有很多用途，一般可用于測(cè)量電感、電容、頻率，還可用于選頻、陷波、調(diào)諧放大、作振蕩器和頻率補(bǔ)償?shù)?

1.2.1 串聯(lián)諧振的條件

由以上分析可知，串聯(lián)電路發(fā)生諧振的條件是

XL-XC=0 或XL=XC

即

1.2.2 實(shí)現(xiàn)電路諧振的方法

(1)如果電感L和電容C固定不變，可通過改變電源頻率使電路諧振.設(shè)串聯(lián)諧振時(shí)的角頻率為ω0，頻率為f0，則

其中L的單位為H，C的單位為F，f0的單位為Hz.

諧振時(shí)的角頻率和頻率僅決定于電路的電感和電容的量值，是電路所固有的.所以f0和ω0常稱為電路的固有頻率和電路的固有角頻率.當(dāng)電源頻率等于電路的固有頻率時(shí)，電路發(fā)生諧振.

(2)如果電源的頻率一定，可改變電感或電容使電路諧振.

改變電感或電容，都能改變電路的固有頻率f0，使f0等于電源頻率f，電路就出現(xiàn)諧振現(xiàn)象.調(diào)節(jié)L或C使電路諧振的過程稱為調(diào)諧.

1.2.3RLC串聯(lián)諧振的基本特點(diǎn)

(2)諧振時(shí)，電路中電流最大,且與電源電壓同相.

(3)諧振時(shí)，電路的電抗為零，感抗和容抗相等并等于電路的特性阻抗ρ.

由于諧振時(shí)

則

所以

(4)諧振時(shí)，電感與電容兩端的電壓相等，且相位相反，其大小為電源電壓U的Q倍.

則

UL0=UC0=QU

電路的Q值一般在50～200之間.因此，即使外加電源電壓不高，在諧振時(shí)，電路元件上的電壓仍然可能很高，特別對(duì)于電力電路來說，這就必須注意到元件的耐壓?jiǎn)栴}和設(shè)法避免過電壓?jiǎn)栴}.

1.2.4RLC串聯(lián)電路諧振時(shí)的功率關(guān)系

有功功率

電源向電路輸送電阻消耗的功率，電阻功率達(dá)到最大.

無功功率

Q=UIsinφ=QL+QC=0

穩(wěn)態(tài)時(shí)，電源不向電路輸送無功功率.電感中的無功功率與電容中的無功功率大小相等，互相補(bǔ)償，彼此進(jìn)行能量交換.

1.2.5RLC串聯(lián)電路諧振時(shí)的能量關(guān)系

在RLC串聯(lián)電路中，電阻是耗能元件，它把電、磁能轉(zhuǎn)換成熱；電容和電感是儲(chǔ)能元件，它們時(shí)而儲(chǔ)存電、磁能，時(shí)而放出，彼此交換能量，而不消耗.

在交流電的一個(gè)周期T里，電阻元件中消耗的能量為

WR=RI2T

電容兩端的電壓

電容的儲(chǔ)能

電感的儲(chǔ)能

電路的總儲(chǔ)能

上式表明，電感和電容的能量按余弦或正弦規(guī)律變化，最大值相等，即WLm=WCm.L，C的磁場(chǎng)能量和電場(chǎng)能量作周期性地交換，而不與電源進(jìn)行能量交換.在一般的情況下，WS是隨時(shí)間做周期變化的量，這表明，諧振電路與外界交換無功功率.但是在諧振狀態(tài)下

這時(shí)WS不再隨時(shí)間變化，且等于最大值，亦即諧振電路不再與外界交換無功功率.WS=LI2就是在諧振狀態(tài)下穩(wěn)定地儲(chǔ)存在電路中的電、磁能，這能量是在諧振電路開始接通時(shí)經(jīng)歷的暫態(tài)過程中由外電路輸入給它的.達(dá)到穩(wěn)定的振蕩以后，為了維持振蕩，外電路需不斷地輸入有功功率，以補(bǔ)償上述WR的損失，但在諧振狀態(tài)下無需再供給無功功率.

2 RLC串聯(lián)諧振電路Q值的意義

2.1 Q值的第一種意義——儲(chǔ)能與耗能

2.2 Q值的第二種意義——電壓分配

在諧振時(shí)，一般Q?1，UR=U，UL0=UC0=QU?U，即電感和電容的電壓相等，并且是信號(hào)源電壓的Q倍(幾十到幾百倍)，故串聯(lián)諧振電路又稱為電壓諧振電路.串聯(lián)諧振電路的這個(gè)特點(diǎn)為我們提供了測(cè)量電抗元件Q值的一種方法.最常用的一種測(cè)Q值的儀器——Q表，就是利用上述原理制成的.例如，當(dāng)一個(gè)諧振電路Q值為100時(shí)，若電路兩端加6 V的電壓，諧振時(shí)電容或電感上的電壓將達(dá)到600 V，在實(shí)際操作中不注意到這一點(diǎn)，就會(huì)很危險(xiǎn).電力系統(tǒng)中，常常盡量避免諧振，以免擊穿電路設(shè)備(L,C等)；而電子線路中，常用此方法獲得高壓.

2.3 Q值的第三種意義——頻率的選擇性

圖5 Z,I,φ隨頻率的變化曲線

電流諧振曲線表明，由于串聯(lián)諧振回路的諧振特性，使它對(duì)ω0附近的頻率產(chǎn)生很大的電流，對(duì)遠(yuǎn)離ω0的頻率產(chǎn)生的電流卻很小，這表明串聯(lián)諧振回路對(duì)不同頻率的信號(hào)有不同的響應(yīng)，這種響應(yīng)說明串聯(lián)諧振回路具有選擇所需頻率信號(hào)的能力，即能把ω0附近的無線電信號(hào)選擇出來，同時(shí)也能把遠(yuǎn)離ω0的頻率成分加以削弱和抑制.所以串聯(lián)諧振回路可以用作選頻電路.

回路中電流的有效值為

即

圖6 串聯(lián)諧振回路的電流幅頻特性曲線

從圖6上可以清楚地看到，較大的Q值對(duì)應(yīng)著較尖銳的電流諧振曲線，而較尖銳的電流諧振曲線意味著有較高的回路選擇性.所以回路的Q值愈大，回路的選擇性就愈高.

在電子技術(shù)中，回路的Q值一般是Q≥1，因而電流諧振曲線比較尖銳.當(dāng)信號(hào)頻率ω遠(yuǎn)離ω0時(shí)，回路電流已經(jīng)很小了.這就是說，遠(yuǎn)離ω0的信號(hào)對(duì)電路的影響基本上可以忽略不計(jì).所以只考慮信號(hào)頻率ω接近ω0時(shí)的情況，在這種情況下可以認(rèn)為

ω+ω0≈2ω

有

則

圖7 串聯(lián)諧振回路諧振曲線的通頻帶

B=f2-f1=(f2-f0)+(f0-f1)≈

Δf+Δf=2Δf

只要選擇回路的通頻帶大于或等于信號(hào)的頻帶，使信號(hào)頻帶落在回路的上、下邊界f2和f1之內(nèi)，信號(hào)通過回路后產(chǎn)生的幅度失真是允許的.

由通頻帶的定義可知，在通頻帶的邊界頻率上有

令

則

因而得

即諧振電路的通頻帶寬度Δf反比于諧振電路的Q值，Q值越大(即損耗越小)，諧振電路的選擇性越強(qiáng).由此得出結(jié)論(圖6)：

(1)Q值越高，幅頻特性曲線越尖銳，電路對(duì)偏離諧振頻率的信號(hào)的抑制能力越強(qiáng)，電路的選擇性越好.

(2)Q值越高，電路的帶寬越窄.

(3)諧振電路的實(shí)際應(yīng)用舉例——收音機(jī)選臺(tái)

為減小信號(hào)失真，要求帶寬盡可能寬，希望Q值小；為抑制臨近電臺(tái)信號(hào)干擾，要求選擇性要好，希望Q值大.

實(shí)際設(shè)計(jì)時(shí)，要選取適當(dāng)?shù)腝值，以兼顧選擇性和帶寬的要求.

2.4 Q值的第四種意義——阻尼振蕩

前面所提到的RLC串聯(lián)電路的暫態(tài)過程與諧振問題有著密切的聯(lián)系，因?yàn)檠芯康膶?duì)象是共同的，即RLC串聯(lián)電路，區(qū)別只在于電路中一個(gè)無源，一個(gè)有源.在R很小時(shí)，無源RLC串聯(lián)電路能按照自身的固有頻率或周期振蕩，其固有頻率

周期

它在頻率為ω的交流電源作用下受迫振蕩時(shí)，就會(huì)在ω=ω0的條件下發(fā)生諧振，這也是振動(dòng)現(xiàn)象的普遍規(guī)律.既然Q值是這個(gè)電路本身的性質(zhì)，可以料到，它不僅在諧振現(xiàn)象中多方面表現(xiàn)出來，在暫態(tài)過程中也會(huì)有一定的表現(xiàn).

即

故

其實(shí)，第四種意義與前面所說的第一種意義(Q值等于諧振電路中儲(chǔ)存的能量與每個(gè)周期內(nèi)消耗能量之比的2π倍)有著密切的聯(lián)系.在每個(gè)周期T內(nèi)

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