工程結構隨機地震響應分析的大質量擴階解法

曹春青

工程結構隨機地震響應分析的大質量擴階解法

曹春青

為簡化求解平穩過濾白噪聲地震動激勵下工程結構動力響應的求解公式，提出一種大質量擴階解法，將輸入簡化為白噪聲模型。結合復振型分解理論，即可基于白噪聲過程激勵下單自由度結構動力響應的求解公式獲得結構在復雜地震動作用下的隨機動力響應，并指出該方法可避免繁瑣的積分運算，求解速度快，值得推廣應用。

結構工程，擴階，大質量，地震響應，隨機分析

0 引言

在平穩白噪聲過程激勵下，工程結構的線性動力響應的功率譜和方差通常都能求得解析解。不過，對于一些其他常用的復雜平穩隨機過程，求解過程將非常復雜，大多數情況下甚至很難得到解析解。不過，當隨機過程的功率譜可以由白噪聲過程過濾得到時，則有可能通過擴展結構系統自由度階數而降低求解積分運算的難度。方同曾提出一種擴階解法求解平穩過濾白噪聲過程激勵下結構的隨機響應［1，2］，該方法將過濾層在白噪聲激勵下的動力平衡方程與上部結構在過濾層相應的輸出結果激勵下的方程聯立起來，組成一個在白噪聲過程激勵下的擴階系統。由于此擴階系統中上部結構受到過濾層的作用，但過濾層不接受上部的反饋作用，所以擴階系統的參數矩陣是非對稱的，擴階系統也僅僅是形式上的聯立，并不對應任何實際的物理模型，本文稱之為“數學擴階解法”。一些學者在隨機振動問題的研究中采用了類似的方法：姚昌仁等人采用擴階解法研究有色噪聲激勵下結構隨機響應的靈敏度問題［3］、侯志強等人采用此法計算有色噪聲激勵下的遲滯系統的隨機響應［4］、李創第和李暾等人采用此法研究建筑結構調頻減振［5，6］和隔震問題［7］、吳存利、冷小磊和方同采用此法研究TMD減震問題［8］。

由于數學擴階解法形成的擴階矩陣是非對稱的，因而需要求解左、右特征向量，本文提出一種大質量擴階解法，可以避免該問題。本文先介紹數學擴階解法的步驟，給出地震工程中常見平穩震動模型的擴階解法和數值算例的驗證，并對相關問題進行了討論。

1 結構平穩響應的大質量擴階解法

設某加速度過程g(t)可以由平穩白噪聲加速度過程激勵下的二階系統的動力響應給出，稱此二階系統為過濾層，設過濾層自由度為l，則其動力平衡方程為：

其中，Mn×n，Cn×n，Kn×n，{x}n分別為上部結構的質量、阻尼和剛度矩陣及節點位移向量，Mn×n為對角矩陣;In為單位列向量。下面分別給出當上部結構的輸入為過濾層絕對加速度響應時的大質量擴階解法。

如果g(t)是式(1)中過濾層第i個節點的絕對加速度(金井譜屬此類情況［9，10］)，聯立式(1)，式(2)可得：

上式等號左側的上標“a”為該矩陣是添加到原質量矩陣中去的，等式右端的m1，mn為Mn×n中的對角元素。式(3)與式(1)，式(2)是完全等價的，但是式(3)所示的擴階系統的輸入為白噪聲過程，采用振型分解解耦后，其求解公式將比直接求解式(2)簡單的多。這實際上就是文獻［2］介紹的數學擴階方法，只不過文獻［2］中是先采用復模態分析理論將式(1)，式(2)轉換為一階微分系統后再聯立的，本文是直接聯立的二階微分系統。顯然式(3)中的擴階質量矩陣是非對稱的，本文對式(3)試做如下變化強迫使其對稱：

其中，β為質量放大倍數。上述變換相當于保持式(2)不變，而式(1)變為：

式(5)是白噪聲作用下二階系統，由于擴階阻尼矩陣通常不再滿足比例假定，所以需要采用復模態振型分解方法進行降階［11］。這就是本文提出的大質量擴階解法。

2 平穩隨機響應的算例

下面考察采用上述大質量擴階解法計算一個二自由度結構在功率譜為金井清模型的平穩過濾白噪聲過程激勵下的隨機響應的精度。結構簡圖如圖1所示，其中，ms=3 kg，ks=200 kN/m，cs=3.963 4 kN·s/m。

金井清模型是單自由度振子在白噪聲作用下的絕對加速度響應，為行文簡潔，本文稱功率譜為金井清模型的平穩隨機過程為金井清過程，當隨機過程的功率譜為其他功率譜模型時依此類推。當輸入加速度過程為金井清過程時，應采用式(4)所示公式求解，此算例的具體公式為：

值得指出的是：式(6)右端的荷載位置向量為［0，0，1］t，而不是單位列向量。先將式(6)轉換為如下一階形式：

其中，pi為i階復特征值，與之相應的特征向量記為φi;ηi為振型參與系數;qi為復振型位移且有：

由式(8)可知第i階振型的頻響函數為Hi(ω)=1/(－pi+ iω)，則結構位移和速度響應功率譜矩陣可寫為：

式(10)給出了計算擴階系統位移和速度響應功率譜的公式，下面討論加速度的計算方法。由式(8)可知，φ·η=－ˉL，所以下式成立：

上式右端給出了上部結構的速度、相對加速度反應和過濾層的絕對加速度、速度反應。而上式左端顯然等于φ·(pi·qi)，那么過濾層的絕對加速度功率譜可由下式給出：

圖2顯示的是頂層位移和過濾層絕對加速度功率譜。算例中ωg=18 rad/s，ζg=0.6，β為過濾層質量與上部結構質量之比。圖2中理論精確解采用直接頻響函數法求解。從圖2中可以看出，當β=100時，大質量擴階解法給出的結果與理論精確解十分接近。

3 結語

本文介紹一種求解平穩過濾白噪聲激勵下工程結構動力響應的大質量擴階解法，采用該解法得到的擴階系統的參數矩陣是對稱陣，與不考慮土結相互作用的理論解相比，該算法的計算結果理論上是近似的，但是具有非常高的精度，完全能夠滿足工程要求;考慮地震地運動的實際情況后，該算法實際上是更為合理的。

［1］ Fang.T，Wang.Z N.Stationary Response Due to Arbitrarily Filtered White Noise Excitation［J］.Journal of Northwestern University.English Extra Issue，1987，3(1)：41-48.

［2］方 同.工程隨機振動［M］.北京：國防工業出版社，1995.

［3］ 姚昌仁，麻永平.結構隨機激勵的響應靈敏度分析［J］.力學學報，1990，22(4)：438-445.

［4］ 侯志強，李 躍.遲滯系統受隨機激勵的響應計算［J］.應用力學學報，2003，20(4)：101-104.

［5］李創第，李 暾，黃天立，等.高層建筑TMD風振控制分析的復模態法［J］.振動與沖擊，2003，22(2)：1-4.

［6］ 李 暾，李創第，章本照.帶TLD結構隨機風振響應的解析解［J］.哈爾濱工業大學學報，2003，35(4)：437-440.

［7］ 李創第，丁曉華，陳俊忠，等.基礎隔震結構基于Clough-Penzien譜隨機地震響應分析的復模態法［J］.振動與沖擊，2006，25(5)：39-43.

［8］吳存利，冷小磊，方 同.隨機結構地震響應的TMD控制［J］.西北工業大學學報，2007，25(2)：305-311.

［9］ Kanai.K.Semi-empirical Formula for the Seismic Characteristics of the ground Motion［R］.Japan：Earthquake Research Institute University of Tokyo，1957：309-325.

［10］ Tajimi.H A.Statistical Method of Determining the Maximum Response of Building Structure During an earthquake［J］.2end Word Conference on Earthquake Engineering，1960 (35)：781-798.

［11］ Zhou X Y，Yu R F，Dong D.Complexmode superposition algorithm for seismic responses of non-classically damped linear MDOF system［J］.Journal of Earthquake Engineering，2004，8 (4)：597-641.

On largemass expanding rank method of random earthquake response analysis in project structure

CAO Chun-qing

In order to simplify the solving formula for the engineering dynamic response under the stationary filtered white noise seismicmotions，the paper points out the largemass expanding rank method to simplify the input to be the white noisemodel，combines the complexmode decomposition theory，indicates the random dynamic response of the structure can be obtained in the complicated seismic effect for the solving formula of the single degree of freedom structure under the white-noise process，and points out themethod can avoid the complicated integral operation and have speedy solution speed，so it can be further applied.

structural project，expanding rank，largemass，earthquake response，random analysis

TU311.3

A

1009-6825(2011)17-0051-03

2011-02-24

曹春青(1978-)，女，工程師，中鐵電氣化局集團北京建筑工程有限公司，北京 100000